Demuestra que el DGC de polinomios es el mismo cuando los coeficientes están en un campo diferente

Question

Demostrar que el máximo común divisor de dos polinomios $f, g$ en $\Bbb Q[X]$ es igual a su máximo común divisor en $\Bbb C[X]$ .

Estoy teniendo problemas para escribir esta prueba. He intentado configurarlo como:

$f(x) = p(x)f'(x)$

$g(x) = p(x)g'(x)$

donde $p(x)$ es el gcd. Supongamos que el gcd en $\Bbb C[X]$ es $q(x)$ , $p(x) \not = q(x)$ .

$f(x) = q(x)f''(x)$

$g(x) = q(x)g''(x)$

...pero no llego a ninguna parte.

Answer 1

Sugerencia $ $ gcds en un PID $\rm D$ como $\,\Bbb Q[x]\,$ persisten en anillos de extensión porque el gcd puede especificarse mediante la resolubilidad de ecuaciones (lineales) sobre $\rm D$ y tales soluciones siempre persisten en anillos de extensión, es decir, raíces en $\rm D$ permanecen raíces en anillos $\rm\,R \supset D.\:$ Más concretamente, el Identidad de Bezout para el gcd da como resultado la siguiente especificación ecuacional teórico-anular para el gcd

$$\begin{eqnarray} \rm\gcd(a,b) = c &\iff&\rm (a,b) = (c)\ \ \ {\rm [equality\ of\ ideals]}\\ &\iff&\rm a\: \color{#C00}x = c,\ b\:\color{#C00} y = c,\,\ a\:\color{#C00} u + b\: \color{#C00}v = c\ \ has\ roots\ \ \color{#C00}{x,y,u,v}\in D\end{eqnarray}$$

Prueba $\ (\Leftarrow)\:$ En cualquier anillo $\rm R,\:$ $\rm\:a\: x = c,\ b\: y = c\:$ tener raíces $\rm\:x,y\in R$ $\iff$ $\rm c\ |\ a,b\:$ en $\rm R.$ Además, si $\rm\:c = a\: u + b\: v\:$ tiene raíces $\rm\:u,v\in R\:$ entonces $\rm\:d\ |\ a,b$ $\:\Rightarrow\:$ $\rm\:d\ |\ a\:u+b\:v = c\:$ en $\rm\: R.\:$ Por lo tanto, deducimos $\rm\:c = gcd(a,b)\:$ en $\rm\: R,\:$ siendo un divisor común divisible por todo divisor común. $\ (\Rightarrow)\ $ Si $\rm\:c = gcd(a,b)\:$ en $\rm D$ entonces la identidad de Bezout implica la existencia de tales raíces $\rm\:u,v\in D.\ $ QED

Anillos con tales linealmente gcds representables se conocen como Bezout anillos. Como en el caso anterior, los gcds de dichos anillos siempre persisten en los anillos de extensión. En particular, los elementos coprimos siguen siendo coprimos en los anillos de extensión (con el mismo $1$ ). Esto no tiene por qué ser cierto sin tales representaciones lineales de Bezout del gcd. Por ejemplo, $\rm\:\gcd(2,x) = 1\:$ en $\rm\:\mathbb Z[x]\:$ pero el gcd es la no unidad $\:2\:$ en $\rm\:\mathbb Z[x/2]\subset \mathbb Q[x]$ .

Answer 2

Creo que el enfoque más sencillo es estudiar un algoritmo para calcular el gcd.

Answer 3

En primer lugar, no escriba los factores como $f'(x)$ ya que se parece a la derivada. En segundo lugar, no estás llegando a ninguna parte porque tus ecuaciones hacen no capturan la condición de que $p(x)$ es el gcd, sino sólo que es un factor común. No avanzarás a menos que tus condiciones transmitan realmente que estás trabajando con un gcd y no sólo con un factor común de $f$ y $g$ . Tienes que utilizar de alguna manera que los factores complementarios son relativamente primos. Utiliza la identidad de Bezout para polinomios relativamente primos.