Problema de varianza

Question

He encontrado en el libro de Casella & Berger: "Statistical Inference" el siguiente teorema (2.3.4):

Si $X$ es una variable aleatoria con varianza finita, entonces para cualquier constante $a$ y $b$ $$\operatorname{Var}(aX+b)=a^2\operatorname{Var}X$$

Esto me hace plantearme el siguiente problema:

Pon un ejemplo de variable aleatoria $X$ (con varianza infinita) y números reales $a,b$ tal que $$\operatorname{Var}(aX+b)\ne a^2\operatorname{Var}X$$

Answer 1

Aunque $\text{Var}(X)$ es infinito, $aX$ cuando $a=0$ no es como $0\cdot \infty$ ; está perfectamente bien definido.

Como resultado, $\text{Var}(aX+b)$ está perfectamente bien definido -- en ese caso, no es indeterminado.

Por otra parte $a^2\cdot\text{Var}(X)$ cuando $a=0$ es de la forma $0\cdot\infty$ .