Primera pregunta de forma fundamental.

Question

La pregunta que publiqué;

$6.1.2\quad$ Demostrar que y aplicar una isometría de $\Bbb R^3$ a una superficie no cambia su forma de primer fondo. ¿Cuál es el efecto de una dilatación (es decir, un mapa $\Bbb R^3\to \Bbb R^3$ de la forma $v\mapsto av$ para alguna constante $a\ne 0$ .

Y he publicado su respuesta como foto de abajo. En general, no puedo entender su respuesta.

$6.1.2\,$ Aplicar una traslación a un parche de superficie $\boldsymbol{\sigma}$ no cambia $\boldsymbol{\sigma}_u$ o $\boldsymbol{\sigma}_v$ . Si $P$ es un $3\times3$ matriz ortogonal, $P(\boldsymbol{\sigma})_u=P(\boldsymbol{\sigma}_u)$ , $P(\boldsymbol{\sigma})_v=P(\boldsymbol{\sigma}_v)$ y $P$ conserva los productos de puntos $(P(\mathbf p)\cdot P(\mathbf q)=\mathbf p\cdot\mathbf q$ para todos los vectores $\mathbf p$ , $\mathbf q\in\Bbb R^3)$ . Aplicando la dilatación $(x,y,z)\mapsto a(x,y,z)$ donde $a$ es una constante distinta de cero, multiplica $\boldsymbol{\sigma}$ por $a$ y por tanto la primera forma fundamental por $a^2$ .

Por favor, explíquelo de forma más clara y explícita. Muchas gracias.

Answer 1

Sea $\sigma: U\subseteq \mathbb R^2\rightarrow \mathbb R^3$ $(u,v)\mapsto \sigma(u,v)=(x(u,v),y(u,v),z(u,v))$ parametrizar una superficie bidimensional en $\mathbb R^3$ por coordenadas $(u,v)$ . En

$$I(X,Y):=\langle X,Y\rangle:=\sum_{i,j=1}^2 a_ib_j\langle \sigma_i,\sigma_j\rangle $$

denotamos su primera forma fundamental, calculada para todos los vectores tangentes

$$X=a_1\sigma_1+a_2\sigma_2, $$

$$Y=b_1\sigma_1+b_2\sigma_2, $$

en cualquier punto de la superficie. Introducimos la notación $\sigma_1:=\sigma_u=\frac{\partial \sigma}{\partial u}$ y $\sigma_2:=\sigma_v=\frac{\partial \sigma}{\partial v}$ en aras de la claridad.

• Traducciones

Una traducción

$$\sigma'(u,v):=\sigma(u,v)+b, $$

con $b\in\mathbb R$ no tiene ningún efecto sobre los vectores tangentes $\sigma_u$ y $\sigma_v$ es decir

$$\sigma'_u=\sigma_u, $$ $$\sigma'_v=\sigma_v, $$

y la primera forma invariante no se ve afectada por las traslaciones.

Esto se consigue inmediatamente calculando $\frac{\partial \sigma'}{\partial u}$ y $\frac{\partial \sigma'}{\partial v}$ .

• Transformaciones ortogonales

Por definición de transformación ortogonal (representada por una matriz $O$ una vez elegida una base en $\mathbb R^3$ )

$$I(OX,OY):=\langle OX,OY\rangle=\langle O^TOX,Y\rangle=\langle X,Y\rangle=I(X,Y),$$

como $O^TO=I$ . La primera forma invariante es entonces invariante bajo transformaciones ortogonales. En la referencia presentada en el PO este hecho se resume en "... y $P$ conserva el producto punto ".

• Dilataciones

Una dilatación

$$\sigma'(u,v):=\alpha\sigma(u,v), $$

con $\alpha\in\mathbb R^{+}$ es tal que

$$\sigma'_u=\alpha\sigma_u, $$ $$\sigma'_v=\alpha\sigma_v; $$

llegamos a

$$I(X',Y')=\sum_{i,j=1}^2 a_ib_j\langle \sigma'_i,\sigma'_j\rangle =\sum_{i,j=1}^2 a_ib_j\langle \alpha\sigma_i,\alpha\sigma_j\rangle=a^2I(X,Y),$$

es decir, aplicando una dilatación por $\alpha$ la primera forma fundamental se multiplica por $\alpha^2$ .