Mientras estudiaba el Último Teorema de Fermat y ternas Pitagóricas, la siguiente pregunta que se me ocurrió: Para la ecuación de $a^n+b^n=c^n$ donde $n$ es un entero negativo, a) ¿una solución existe, y b) si existen soluciones, hay algo de lo analógico a lo Último Teorema de Fermat para estos parámetros? He hecho un par de pasar intentos para encontrar una solución y han llegado con las manos vacías, aunque yo no soy una gran matemático de la mente y no se sorprendan si me he perdido incluso respuestas obvias. Gracias de antemano por su ayuda.
Respuestas
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Supongamos que $a^{-n}+b^{-n} = c^{-n}$ $a,b,c,n$ enteros positivos.
Luego, multiplique ambos lados por $a^nb^nc^n$ a $b^nc^n + a^nc^n = a^nb^n$, es decir, $(bc)^n+(ac)^n=(ab)^n$.
Si $n \ge 3$, entonces esto contradice el teorema pasado de Fermat. Por lo tanto, no existen soluciones para $n \ge 3$.
$n = 1$, Tenemos varias soluciones, una de ellas es $3^{-1}+6^{-1} = 2^{-1}$.
$n = 2$, Tenemos varias soluciones, una de ellas es $15^{-2}+20^{-2} = 12^{-2}$.
Rasmir
Puntos
26
Teorema de Fermat en realidad pide a la pregunta de arriba para enteros positivos mayores que dos, así que usted está pidiendo negativo $n$ menos que la negativa de los dos?
De todos modos, para responder a su pregunta, considera que el problema de $n = -1$. Tenemos $$ \frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{1}{c} = \frac{b}{ab} + \frac{a}{ab} = \frac{a+b}{ab}. $$ Esto significa que si tenemos $(a+b) \vert ab$, a continuación, simplemente podemos definir $c=\frac{ab}{a+b}$. Existen muchas fórmulas para hallar dos números enteros tales que su suma se divide a su producto (véase el enlace: condiciones Necesarias y suficientes para la suma de dos números para dividir su producto).
Ej: vamos a $a=10$, $b=15$. Tenemos $$ \frac{1}{10}+\frac{1}{15} = \frac{1}{6}. $$
