Cómo demostrar por inducción que para $n$ $\in \mathbb N$ , $2 n - 18 < n^2-8n +8$ ?

Question

Pregunta:

Demostrar para $n$ $\in \mathbb N$ , $2 n\ -\ 18\ <\ n^2-8n\ +8$

Mi intento:

$Base\ Case:\ n\ =\ 1,\ it\ holds.$

$I.H:\ Suppose\ 2k-18\ <\ k^2-8k+8,\ where\ k\ is\ a\ natural\ number.$

$Then,\ \left(k+1\right)^2-8\left(k+1\right)+8\ =\ k^2+2k+1-8k-8+8\ >2k-18+2k+1-8$

Estoy atrapado aquí. Agradecería cualquier ayuda. Thank you.

Answer 1

Pista: reescribe la desigualdad dada como:

$$2 n - 18 \lt n^2- 8n + 8 \quad\iff\quad 0 \lt n^2 - 10 n + 26 \quad\iff\quad 0 \lt (n-5)^2+1$$

Se puede demostrar esto último por inducción si realmente hace falta, pero, por supuesto, es dolorosamente obvio cuál es la prueba directa.

Answer 2

Aviso, $2n-18<n^2-8n+8 \implies n^2-10n+26=(n-5)^2+1>0$ .

Sea $(n-5)=u$ por lo que tenemos $u^2+1>0$ .

Moviéndose sobre el $1$ nos da $u^2>-1$ . Sabemos que esto es cierto porque todos los cuadrados de los números reales (y naturales) son mayores que $-1$ .

Por lo tanto, tenemos $(n-5)^2>-1$ y $(n-5)^2+1>0$ y $n^2-10n+26>0$ .

Añadir $2n-18$ a ambos lados nos da $n^2-8n+8>2n-18 \implies 2n-18<n^2-8n+8$ .

Por lo tanto, nuestra prueba está completa.

Answer 3

Suponiendo que $\quad2n-18 < n^2-8n+8\quad$ entonces

$\begin{array}{ll} 2(n+1)-18 = (2n-18)+2 < & (n^2-8n+8)+2\\ &=[n^2-6n+1]-2n+9\\ &=[(n+1)^2-8(n+1)+8]-(2n-9)\\ \end{array}$

Así que la inducción funciona cuando $2n-9\ge 0$ que es cuando $n\ge 5$

Podrá verificar el paso inicial para $n=5\ :\ \begin{cases}2n-18=-8\\ n^2-8n+8=25-40+8=-7\end{cases}$

Para los casos $n\le 4$ tienes que verificarlos manualmente.

O optar por la solución algebraica $n^2-10n+26=(n-5)^2+1>0$ .

Answer 4

Si agrupamos los términos de ambos lados, la expresión será más clara. Por lo tanto:

$$2(k+1) - 18 < (k+1)^2 - 8(k+1) + 8$$ $$(2k + 2) - 18 < (k^2 + 2k + 1) + (-8k-8) + 8$$ $$(2k) + (2-18) < (k^2) + (2k-8k) + (1-8+8)$$ $$2k - 16 < k^2 - 6k + 15$$ $$0 < k^2 - 8k + 31.$$

Ahora convertir $k^2 - 8k + 31$ en forma de vértice y demostrar que las raíces no son números enteros, lo que significa que ningún número entero satisface la condición. Además, ¿cuál es el discriminante de la cuadrática? ¿Qué te dice esto?