¿El ángulo de intersección entre un círculo y una hipérbola?

Question

$x^2 - 2y^2 = 4$
$ (x-3)^2 + y^2 = 25 $

¿Cómo se calcula el ángulo de intersección entre una circunferencia y una hipérbola?

Si expreso $y^2$ de la primera ecuación y aplicarlo a la segunda ecuación, obtengo lo siguiente:

$y^2 = -2 + \frac{x^2}{2}$
$(x-3)^2 + -2 + \frac{x^2}{2} = 25$ ... $x^2 - 4x - 12 = 0$
$x_1 = 6, x_2 = -2 \implies y_1 = 4, y_{1'} = -4, y_2 = 0$

Ahora, los puntos $(6,4)$ Podría calcular la ecuación de la recta que interseca el círculo y la hipérbola: $(6-3)(x-3) + (4-0)(y-0) = 25 \implies y = -\frac{3x}{4} + \frac{17}{2}$

Calculé esto porque pensé que podría aplicar la fórmula $\tan\phi = |\frac{k_2 - k_1}{1 + k_1k_2}|$

Answer 1

SUGERENCIA:

$(1):$ Del artículo $151$ de Los elementos de la geometría de coordenadas (Loney) el gradiente $(m_1)$ de $x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ es $=-\frac{x_1+g}{y_1+f}$ donde $(x_1,y_1)$ es el punto dado del círculo

y del artículo $305,262$ el gradiente $(m_2)$ de $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ es $\frac{b^2\cdot x_2}{a^2\cdot y_2}$ donde $(x_2,y_2)$ es el punto dado en la hipérbola

$(2):$ Alternativamente, encuentre los gradientes de cada curva en $(6,4)$ y en $(-2,0)$ aplicando la derivada de primer orden

En ángulo agudo entre las curvas será $$\arctan\left|\frac{m_1-m_2}{1+m_1m_2} \right|$$