Encontrar una solución en serie utilizando la separación de variables

Question

Una cuerda vibrante de longitud 1 en un medio resistente con extremos fijos, desplazamiento inicial lineal y velocidad inicial nula se modela mediante el siguiente problema

$$\left\{ \begin{array}{l l} u_{tt} - c^2u_{xx} + ru_t = 0 & \quad \mbox{$0<x<1, t>0$} \\ \quad u(x,0) = \begin{cases} x & \textrm{ if $0\le x\le 1/2$} \\ 1-x & \textrm{ if $1/2\le x\le 1,$} \end{cases} \\ \quad u_t(x,0) = 0, \\ u(0,t) = u(1,t) = 0, \\ \end{array} \right. $$

donde $r$ es una constante, y $0<r<2\pi c$ . Utiliza la separación de variables para encontrar una solución en serie.

He dejado la condición para $u(x,0)$ en blanco porque no estoy seguro de cómo codificar en el problema otro corchete para las dos condiciones iniciales que tiene que son $x$ si $0 \leq x \leq 1/2$ et $1-x$ si $1/2 \leq x \leq 1$ .

Answer 1

Dado que se trata de una cadena entre $x=0$ et $x=1$ es conveniente escribirla como una serie de Fourier en $x$ . Los puntos extremos están unidos, por lo que sólo obtenemos términos seno - si quieres, también puedes incluir términos coseno y más tarde averiguar por qué sus coeficientes desaparecen. Los coeficientes dependen de $t$ .

Por lo tanto, escribimos $$ u(x,t) = \sum_{k=1}^\infty a_k(t)\sin(k\pi x). $$ En cada término la dependencia temporal y espacial están separadas; esta es su separación de variables. La EDP se convierte en $$ \sum_{k=1}^\infty [a_k''(t)+(ck\pi)^2a_k(t)+ra_k'(t)]\sin(k\pi x)=0. $$ Puesto que esto desaparece para todo $x$ et $t$ obtenemos para cada $k$ el ODE $$ a_k''(t)+(ck\pi)^2a_k(t)+ra_k'(t)=0. $$ Esto se puede resolver con métodos elementales, una vez que sepas $a_k(0)$ et $a_k'(0)$ . Estos provienen de sus condiciones iniciales para $u$ en $t=0$ .

Utilizando la representación en serie, tenemos $$ u(x,0) = \sum_{k=1}^\infty a_k(0)\sin(k\pi x) $$ et $$ \partial_tu(x,0) = \sum_{k=1}^\infty a_k'(0)\sin(k\pi x), $$ por lo que las condiciones iniciales para las EDOs son los coeficientes de Fourier de los coeficientes iniciales para $u$ . Usted tiene $\partial_tu(x,0)=0$ Así que $a_k'(0)=0$ . Para encontrar $a_k(0)$ necesitas calcular la serie de Fourier de tu función $u(x,0)$ . La serie de Fourier de esa función puede encontrarse en tablas, incluida la de Wikipedia.