Resolver inecuaciones con demasiadas ramas

Question

Estoy intentando aprender a resolver inecuaciones con demasiadas ramas.

Por poner un ejemplo:

$3-\frac{1-\sqrt{1-4x^2}}{x}>0$

Parece una inecuación sencilla, sin embargo durante la solución se crean múltiples ramas y con problemas así, nunca puedo llegar a la solución correcta porque me pierdo.

¿Hay algún consejo sobre cómo puedo resolver inecuaciones similares?

Gracias

Answer 1

Pista:

En primer lugar necesitamos $1-4x^2\ge0\iff-1\le2x\le1$

En $x\ne0$ ,

$$\dfrac{1-\sqrt{1-4x^2}}x=\dfrac{4x}{1+\sqrt{1-4x^2}}$$ que necesita ser $<3$

que es verdadera si $x\le0$

Si $x>0,$

$$\dfrac{4x}{1+\sqrt{1-4x^2}}<3\iff\left(\dfrac{4x}3-1\right)^2<1-4x^2\iff(4x-3)^2<9-36x^2$$

¿Puedes seguir desde aquí?

Answer 2

Pista:

Necesitamos $$\dfrac{1-\sqrt{1-4x^2}}x<3$$

WLOG $2x=\sin2t$ con $-\dfrac\pi2\le2t\le\dfrac\pi2\implies\sqrt{1-4x^2}=+\cos2t$

$$\dfrac32>\dfrac{1-\cos2t}{\sin2t}=\tan t\implies t<\arctan\dfrac32$$

$$x=\sin2t<\sin\left(2\arctan\dfrac32\right)=\dfrac{2\cdot\dfrac32}{1+\left(\dfrac32\right)^2}?$$