Prueba simple de NT/Álgebra

Question

Demostrar que si $(p-1)(q-1)\ge 1$ sobre reales positivos mayores que 1, entonces $p+q\ge 4$ .

En esencia, parece que esto está demostrando que si $p+q<pq$ entonces $p+q\ge 4$ pero esto no ayuda necesariamente.

¿Cómo podría resolverlo?

Answer 1

Si $xy\ge 1$ entonces $$(x+y)^2=(x-y)^2+4xy\ge 4$$ y por lo tanto $|x+y|\ge 2$ .

Sea $x=p-1$ et $y=q-1$ . Concluimos que $p+q-2\ge 2$ .

Answer 2

Desde $[\sqrt{p-1}-\sqrt{q-1}]^2 \ge 0$ se deduce que $(p-1)+(q-1) \ge 2\sqrt{(p-1)(q-1)}\ge 2$ .

Por lo tanto $p+q \ge 4$ . QED

Answer 3

$p+q < pq$ equivale simplemente a $\frac{1}{p}+\frac{1}{q} < 1$ .

$\frac{p+q}{2} \geq \frac{2}{\frac{1}{p}+\frac{1}{q}}$ - desigualdad entre medias aritméticas y armónicas.

Por lo tanto $(p+q) \cdot ( \frac{1}{p}+\frac{1}{q} ) \geq 4$

Así que si queremos tener $p+q<4$ et $\frac{1}{p}+\frac{1}{q} < 1$ obtenemos la contradicción.