Si P es k-c.c. y C es un club en k en M[G] entonces C contiene un club en M

Question

He visto esto escrito en varios lugares sin prueba, así que asumo que no es difícil, pero no lo estoy entendiendo.

Deja que $\mathbb P$ sea una noción de forcing $\kappa$-c.c., y deja que $C\in M[G]$ sea club en $\kappa$. Quiero demostrar que existe $D\in M$ tal que $D\subset C$ es club en $\kappa. Kunen sugiere: deja que$f\in M[G], f:\kappa\rightarrow\kappa$tal que$\forall\alpha<\kappa(\alpha

Answer 1

Así es como lo pienso. Supongamos que $\dot C$ es un nombre de $P$ y alguna condición $p_0$ fuerza que $\dot C$ sea club en $\kappa$. Consideremos el conjunto $D$ de ordinales $\alpha\lt\kappa$ tal que $p_0$ fuerza que $\check\alpha\in\dot C$. Este conjunto ciertamente está cerrado, ya que si $p_0$ fuerza ordinales en $\dot C$, entonces por la cerradura también forzará su supremo en $\dot C$. Pero $D$ también es no acotado. Para ver esto, fijemos un ordinal $\alpha_0$. El club $C$ tendrá un siguiente elemento después de $\alpha_0$ y por el lema de mezcla, podemos encontrar un nombre $\dot\beta_0$ tal que $p_0$ fuerza que $\dot\beta_0$ sea el siguiente elemento de $\dot C$ después de $\check\alpha$. (Esto es esencialmente la función $f$ que mencionas). Existe una anti cadena de valores posibles para $\dot\beta_0$---esta es la función $F$ que mencionas---y así, por la $\kappa$-c.c. de $P$, podemos encontrar un ordinal $\alpha_1$ tal que $p_0$ fuerza $\dot\beta_0\lt\check\alpha_1$. Ahora continuamos con $\dot\beta_1$ y $\alpha_2$, $\dot\beta_2$ y así sucesivamente de la misma manera. Por lo tanto, la condición $p_0$ fuerza que cada $\dot\beta_n$ esté en $\dot C$, así que fuerza que el supremo de estos $\omega$ ordinales esté en $\dot C. Pero este supremo es el mismo que el supremo de los$\alpha_n$, y así$p_0$fuerza que el ordinal$\alpha_\omega=\text{sup}\alpha_n$esté en$\dot C$. Por lo tanto, hemos encontrado un ordinal en$D$por encima de$\alpha_0$, y así$D$ es no acotado, como se deseaba.