pruebas de hipótesis con el teorema central del límite

Question

La empresa A afirma que el número medio de galletas en una lata de galletas de mantequilla BiskO es de $27$ . Los reguladores de negocios justos creen que las reclamaciones de la empresa A son inexactas, y que el verdadero número medio de galletas por lata es inferior a $27$ . Para probar su afirmación, el número de galletas en $50$ latas de BiskO fueron contadas y la media de la muestra $\overline X$ fue $25.3$ galletas. Supongamos que la desviación típica de número de galletas en una lata de BiskO se sabe que es $2.6$ .

(a) Construya las hipótesis nula y alternativa apropiadas para esta situación. Asegúrese de que Asegúrese de que la hipótesis nula es simple.

(b) Realice la prueba utilizando las hipótesis que ha esbozado anteriormente al nivel $\alpha = 0.05$ basándose en los datos de la muestra. Anota las aproximaciones utilizadas. ¿Qué conclusión sobre la afirmación de la empresa A?

Así que estoy un poco atascado aquí. Estuve conversando con otros sobre el tema y con nuestro profesor sobre la parte a y nuestra respuesta es que usaremos el teorema central del límite.

$H_0$ est $\mu=27$ y

$H_A$ est $\mu < 27$

Pero cuando se trata de la parte b, no estoy seguro de cómo aplicar el teorema del límite central . No puedo verlo en ninguna parte en mis notas de clase por lo que cualquier consejo sobre cómo realizar esto sería genial.

Answer 1

He puesto los números pertinentes en la "prueba z de una muestra de una versión reciente del software Minitab.

Según el Teorema Central del Límite, suponemos que el número medio de galletas por lata tiene una distribución normal con media poblacional desconocida $\mu$ y estándar conocido desviación $\sigma = 2.6,$ de modo que el error típico es $\sigma/\sqrt{n}.$ [ Error estándar es el nombre habitual de $SD(\bar X).]$

Queremos probar $H_0: \mu = 27$ frente a la alternativa $H_a: \mu < 27,$ al nivel del 5% de significación $\alpha.$ Las ha expuesto correctamente (excepto el uso de $u$ en lugar de la letra griega $\mu,$ que he arreglado). Ahora, aquí hay algunas pistas para hacer la parte (b).

A continuación se muestran los resultados de Minitab:

One-Sample Z 

Test of  = 27 vs < 27
The assumed standard deviation = 2.6

 N    Mean  SE Mean  95% Upper Bound      Z      P
50  26.300    0.368           26.905  -1.90  0.028

En el texto o en los apuntes de clase, busque la fórmula para calcular el estadístico de la prueba $Z$ y realizar el cálculo correspondiente para obtener el valor mostrado en la salida anterior. [También pueden ser útiles algunos de los enlaces "Relevantes" del margen de esta página].

Para esta prueba unilateral al nivel del 5%, el valor crítico es $c = -1.645.$ Es decir, rechazamos la hipótesis nula porque $Z \le -1.645.$ ¿Cómo se determinó este valor crítico $c$ ¿Obtenido? (Utilice una tabla tabla de la FDA normal estándar, una calculadora estadística o un programa informático estadístico).

La mayoría de los programas informáticos muestran los valores P. Uno rechaza al nivel del 5% si el valor P es inferior a $0.05 = 5\%.$ Así que, también según ese criterio, rechazaríamos $H_0.$

[El resultado etiquetado como "Límite superior del 95%" corresponde a un solo lado. es para un intervalo de confianza unilateral, y no es directamente relevante para su pregunta]. pregunta].

Si la hipótesis nula es cierta $Z$ es aproximadamente se distribuye como una variable aleatoria normal estándar. La dirección figura siguiente (realizada con R) muestra la función de densidad normal estándar. El valor crítico $c$ está en la línea roja vertical de puntos. El valor observado de la estadística z está en la línea gruesa línea negra gruesa. El valor P es el área bajo la curva de densidad a la izquierda de la línea negra gruesa.