En $J$ es incontable $R^{J}$ no es Normal

Question

Así que esto es un ejercicio de Munkres,

Sea $X=\mathbb{N}^J$ y el primer paso es demostrar que si $x \in X$ y $B$ es un subconjunto finito sea $U(x,B)$ consisten en el elemento $y$ de $X$ tal que $x(\alpha) = y(\alpha)$ para $\alpha \in B$ entonces $U(x,B)$ es una base para $X$ . Puedo ver que en la topología subespacial esto va a ser un conjunto abierto, mi problema es que al tratar de demostrar que esto es base para $X$ y al pensar en elementos de $X$ como funciones de $J$ a $\mathbb{N}$ básicamente lo que estamos diciendo es que hay al menos un índice $\alpha$ donde dos funciones cualesquiera coinciden, así que después de pensar en esto creo que esto podría ser posible porque $J$ es incontable y $\mathbb{N}$ es contable, ¿es así? Gracias de antemano.

Answer 1

Es bastante fácil ver que estos conjuntos forman una base; sólo hay que darse cuenta de que $\Bbb N$ es discreto, se cumple para cualquier potencia de un espacio discreto:

Supongamos que $O$ es producto abierto en $X$ y $x : J \to \Bbb N$ es un punto de $O$ .

Entonces existe un subconjunto abierto básico estándar $\prod_{\alpha \in J} O_\alpha$ con $x \in \prod_{\alpha \in J} O_\alpha \subseteq O$ por lo que (por definición de la base estándar) existe un subconjunto finito $F \subseteq J$ tal que $O_\alpha = \Bbb N$ para todos $\alpha \notin F$ y todos $O_\alpha$ están abiertos.

Ahora $x(\alpha) \in O_\alpha$ para todos $\alpha \in J$ así que

$$U(x,F) \subseteq \prod_{\alpha \in J} O_\alpha$$

(supongamos $y \in U(x,F)$ entonces para todos $\alpha \in F$ , $y(\alpha) = x(\alpha) \in O_\alpha$ y para todos $\alpha \notin F$ , $y(\alpha) \in O_\alpha=\Bbb N$ es obvio, así que $y \in \prod_{\alpha \in J} O_\alpha$ .)

Finalmente señalar que un conjunto de la forma $U(x,B)$ es abierta en el producto porque es exactamente de la forma abierta básica $\prod_{\alpha \in J} O_\alpha$ donde $O_\alpha = \{x_\alpha\}$ para $x \in B$ y $O_\alpha = \Bbb N$ para $\alpha \notin B$ donde utilizamos que todos los singletons están abiertos en $\Bbb N$ (la discreción), y $B$ es finito (como se requiere para un conjunto abierto básico).