Tengo una duda quizás tonta: en mecánica cuántica, tenemos el Hamiltoniano como energía cinética + energía potencial. Ahora bien, la energía cinética se obtiene de la integral de la fuerza y el desplazamiento. La energía potencial es también la integral del campo eléctrico y el desplazamiento que provoca, todo multiplicado por la carga (sólo se considera un campo eléctrico). Entonces, si en el experimento sólo hay campo eléctrico, la energía cinética es también la energía del trabajo realizado por la fuerza, y lo mismo ocurre con la energía potencial. ¿No estamos entonces contando lo mismo dos veces para el Hamiltoniano?
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
La cuestión no tiene nada que ver con la mecánica cuántica, e incluso con la mecánica clásica (que trata de lagrangianos y hamiltonianos), sino más bien con la mecánica newtoniana básica: En efecto, cuando una partícula es acelerada/desacelerada por un campo eléctrico, cambian tanto su energía cinética como su energía potencial, y es la misma fuerza la responsable de ambos cambios. Sólo que el signo del cambio de energía es diferente para las dos contribuciones: la energía potencial se convierte en energía cinética y viceversa, de modo que la energía neta permanece constante (se conserva): $$ E=\frac{m\mathbf{v}^2}{2} + U(\mathbf{r})=\text{const} $$
user37496
Puntos
577
Esta respuesta se dirige a su comentario a la respuesta de Roger Vadim (que es clara y correcta). La 2ª ley de Newton para una carga en un campo eléctrico uniforme dice que \begin{align} q \mathbf{E} = m \mathbf{a} \end{align} Esta ecuación es no diciéndonos que $m \mathbf{a}$ es lo mismo que la fuerza eléctrica $q\mathbf{E}$ nos está diciendo que aplicando una fuerza eléctrica neta cambiamos la velocidad de nuestra partícula. (En otras palabras, $m\mathbf{a}$ es no una fuerza, que es algo que a mucha gente le cuesta entender).
Cuando integramos ambos lados de esta ecuación sobre la trayectoria de la partícula cargada, obtenemos \begin{align} \int q\mathbf{E}\cdot d\mathbf{r} = \frac{1}{2}m(v_f^2 - v_i^2), \end{align} Una vez más, las dos partes no son lo mismo. El lado izquierdo \begin{align} W_e = \int q\mathbf{E}\cdot d\mathbf{r} \end{align} se denomina trabajo hecha por la fuerza eléctrica, y definimos el cambio en la energía potencial eléctrica como $\Delta U_e = - W_e$ . El lado derecho es el cambio en la energía cinética \begin{align} \Delta K = \frac{1}{2}m(v_f^2 - v_i^2) \end{align} El trabajo nos indica cuánta energía se ha transferido al aplicar la fuerza eléctrica, y el cambio en la energía cinética nos indica el efecto de esa transferencia de energía: aumenta o disminuye la velocidad de la carga en movimiento.
Si reordenamos la ecuación trabajo-energía anterior, obtenemos \begin{align} \Delta U_e + \Delta K = 0 \end{align} Necesitamos ambos términos aquí porque tenemos que tener en cuenta tanto dónde está la energía proviene de y donde va a y no son lo mismo. En realidad no es diferente a si fueras al banco y depositaras \$1 en tu cuenta. Tendrías \begin{align} \Delta \text{money}_{\text{bank}} + \Delta \text{money}_{\text{you}} = 0 \end{align} donde $\Delta \text{money}_{\text{bank}} = \$ 1$ es el dinero que gana el banco y $\Delta \text{money}_{\text{you}} = -\$ 1$ es el dinero al que has renunciado. No estamos contando dos veces ese \$1, sólo estamos diciendo que fue de un lugar a otro, y en general la cantidad total de dinero en el mundo no cambió.
