Aclaración de la definición de álgebra de Hilbert

Question

Consideremos el siguiente fragmento del segundo volumen de Takesaki:

En (c), leemos que la involución $\sharp: \mathfrak{A}\to \mathfrak{A}$ está cerrado. ¿Qué significa esto?

Answer 1

Precerrado es un sinónimo (quizá algo anticuado) de cerrable en este contexto. He aquí un breve curso intensivo:

Un operador (lineal) $T\colon D(T)\to X$ donde $D(T)$ es un subespacio del espacio de Banach $X$ se llama cerrado si el gráfico $$G(T)=\{(x,y)\in D(T)\times X\mid y=Tx\}$$ es un subespacio cerrado de $X\times X$ . Un operador $T\colon D(T)\to X$ se llama cerrable (o precerrado) si existe un operador cerrado $S\colon D(S)\to X$ tal que $D(T)\subset D(S)$ y $Sx=Tx$ para $x\in D(T)$ .

Hay un par de descripciones equivalentes: El operador $T$ es cerrado si y sólo si siempre que $(x_n)$ es una secuencia en $D(T)$ tal que $x_n\to x$ y $Tx_n\to y$ se tiene $x\in D(T)$ y $Tx=y$ . Es cerrable si y sólo si siempre que $(x_n)$ es una secuencia en $D(T)$ suc que $x_n\to 0$ y $Tx_n\to y$ se tiene $y=0$ .

Equivalentemente, $T$ es cerrable si y sólo si el cierre de su grafo $G(T)$ en $X\times X$ es de nuevo la gráfica de un operador lineal. Todo operador cerrable $T$ tiene una extensión cerrada más pequeña, llamada su cierre y denotada por $\overline T$ que es el operador cuyo grafo es el cierre de $G(T)$ .

Si $X$ es un espacio de Hilbert, entonces un operador densamente definido $T$ es cerrable si y sólo si $T^\ast$ está densamente definida, en cuyo caso $\overline T=T^{\ast\ast}$ .

En el contexto de las álgebras de Hilbert, el espacio de Hilbert pertinente es la terminación de $\mathfrak A$ con respecto al producto interior dado.