Integración compleja mediante singularidades

Question

Estoy trabajando en Variables Complejas de Ablowitz y Fokas. En la sección 3.5 sobre singularidades, el problema 2 dice:

Evaluar la integral de f(z) sobre la circunferencia unitaria centrada en el origen:

a) $f(z)=z/(z^2 + w^2)$

b) $f(z)=1/(8z^3+1)$

Normalmente, procedería a encontrar el residuo, pero por a) no sé cómo manejar el $w^2$ término una vez que descompongo la función en series geométricas. Si $|w|>1$ me parece que la función es analítica ya que z no es igual a w para ninguna z en el círculo unitario, por lo que la integral simplemente desaparece.

Para b) la expresión que obtengo por fracciones parciales es demasiado complicada, y estoy sospechando que el objetivo de este ejercicio no es manipular series ya que es un capítulo sobre singularidades.

¿Existe una forma más inteligente de evaluar estas integrales si dispongo de información sobre sus singularidades? Se agradece cualquier ayuda.

Answer 1

Puede utilizar Teorema integral de Cauchy que da que el área sobre una función holomorfa (es decir, analítica compleja) es exactamente cero si el contorno cerrado no contiene singularidades.

O podrías evaluar de la siguiente manera sólo para convencerte a ti mismo: El círculo unitario es $z=e^{i\theta}$ donde $\theta\in[0,2\pi]$ así que tenemos: $dz=ie^{i\theta}d\theta$ . Así, para (a) obtenemos $$\int_{|z|=1} \frac{z}{z^2+w^2} = \int_0^{2\pi}\frac{ie^{2i\theta}}{e^{2i\theta}+w^2}d\theta=\cdots$$

NOTA Cuando más adelante te plantees el teorema del residuo, verás que generaliza el teorema integral para permitir singularidades dentro del contorno cerrado de integración. Básicamente sumamos los residuos en las singularidades y multiplicamos por $2\pi i$ . Tan fácil como $2\pi i$ ¡!

Answer 2

Lo resolví, puedo factorizar $z^2$ del denominador en a) y $8z^3$ en b) y eso me da la serie geométrica que quiero para encontrar el residuo.

Al principio, empecé a ciegas con las fracciones parciales y acabé hecho un lío, y pensé que es bastante improbable que pidan algo tan laborioso técnicamente en una sección que ni siquiera se centra en la integración, pero resulta que no era más que otra serie geométrica rutinaria.

Nota: @pbs acertó las dos veces. (Hice que Mathematica los resolviera en coordenadas polares y obtuve el resultado correcto).