¿Puede ser isomorfo un cociente de un grupo por dos subgrupos distintos?

Question

Si tengo un grupo $G$ con dos dos subgrupos $H$ y $I$ tal que $G/H \approx G/I$ ¿Qué puedo decir sobre la relación entre $H$ y $I$ ? ¿Son iguales, isomorfos?

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Answer 1

Existen grupos $G$ con subgrupos normales propios no triviales $H$ tal que $G \cong G/H$ . Incluso las de presentación finita, como la dada por [Higman, Graham. A finitely related group with an isomorphic proper factor group. J. London Math. Soc. 26, (1951). 59--61. MR0038347 ], a saber, el grupo $G$ generado libremente por $a$ , $b$ y $c$ sujeto a $$a^{-1}ca=b^{-1}cb=c^2,$$ con $H$ normalmente se genera añadiendo la relación $$aca^{-1}=bcb^{-1}.$$