Demostrar (sólo con definición) que $f(x)=\frac{x^3+1}{x^2}, x>0$ no es uniformemente continua

Question

Quiero demostrar (sólo con definición) que $f(x)=\dfrac{x^3+1}{x^2}, x>0$ no es uniformemente continua. Obviamente, $f$ tiene el problema cerca de cero. Supongo que $f$ es uniformemente continua. Así, para todo $\epsilon >0$ existe algún $\delta>0$ tal que si $x,y>0, |x-y|<\delta\Rightarrow |f(x)-f(y)|<\epsilon$ . Traté de tomar algunas $0<x<\delta$ y $y=x/2$ . Por lo tanto, $|x-y|<\delta$ y quiero probar que $|f(x)-f(y)| $ es mayor que un número fijo $\epsilon >0$ . Sin embargo, parece que esta elección sobre $x$ y $ y$ no funcionó. ¿Alguna idea, lo que es una mejor opción para $x$ y $ y$ ? Gracias

Answer 1

Toma $\varepsilon=1$ y que $\delta$ sea un número arbitrario mayor que $0$ . Tome cualquier número $x\in(0,\delta)$ . Desde $\lim_{x\to0^+}f(x)=\infty$ hay un $y\in(0,\delta)$ tal que $f(y)\geqslant f(x)+1$ . Así que.., $|x-y|<\delta$ y $\bigl|f(x)-f(y)\bigr|\geqslant1=\varepsilon$ .