"Existe un nombre formal para la "longitud de codominio/rango" $\Delta_y(f) = \max\{f(x)\} - \min\{f(x)\}$ ?? ¿Está bien definido? (quizás me faltan algunos valores absolutos $|\cdot|$ ).
Se podría decir que el diámetro del rango de $f$ o $\operatorname{diam} \operatorname{Range} f$ . La notación $\Delta_y(f)$ también funcionaría siempre que lo definas de antemano. No sé si existe otro término para ello.
No creo que te falten valores absolutos aquí, aunque el concepto que intentas describir viene de ti, no de nadie más. Desde $f$ es continua, su rango será un intervalo, y lo que has escrito describe definitivamente la longitud de ese intervalo.
Es cierto $V^b_a(f) \geq \max_{a \leq x \leq b}\{f(x)\} - \min_{a \leq x \leq b}\{f(x)\}$ ???
Sí, es cierto. La variación total mide la distancia vertical total que recorres mientras te mueves por el gráfico. Debe recorrer como mínimo del máximo al mínimo del intervalo. Si $f$ no es monótona creciente o decreciente, entonces tendrás que recorrer más (es decir, lo anterior es una estricto desigualdad), recauchutando un terreno que ya has pisado.
A modo de ejemplo, consideremos la función $f(x) = \sin(x)$ en $[0, 2\pi]$ . La gama es $[-1, 1]$ y tiene un diámetro $2$ . Pero, la variación total es $4$ :
- Primero, $\sin$ aumenta de $0$ a $1$ añadiendo $1$ a la variación total, entonces
- Segundo, $\sin$ disminuye de $1$ a $-1$ añadiendo $2$ a la variación total, y
- Por fin, $\sin$ aumenta de $-1$ a $0$ añadiendo $1$ a la variación total.
La parte que disminuye en el centro recauchuta la gama de $0$ a $1$ cubre el intervalo comprendido entre $0$ a $-1$ que vuelve a retroceder por el bit creciente final. Si la función es sólo creciente o sólo decreciente (es decir, "monótona"), entonces no se retrocede ningún trozo del intervalo, ¡y obtenemos la igualdad!
¿Es cierto que $2 \max_{a \leq x \leq b}\{|f(x)|\}\geq \max_{a \leq x \leq b}\{f(x)\} - \min_{a \leq x \leq b}\{f(x)\}$ ???
Sí, así es. Podemos escribir \begin{align*} \max_{a \leq x \leq b}f(x) - \min_{a \leq x \leq b}f(x) &= \max_{a \leq x \leq b}f(x) + \max_{a \leq x \leq b}(-f(x)) \\ &\le \max_{a \leq x \leq b}|f(x)| + \max_{a \leq x \leq b}|-f(x)| \\ &= 2\max_{a \leq x \leq b}|f(x)|. \end{align*}
Hay una forma de relacionar la variación total $V^b_a(f)$ con $\max_{a \leq x \leq b}\{|f(x)|\}$ ??? En concreto, ¿es cierta alguna de estas dos relaciones: (a) $V^b_a(f) \geq 2\max_{a \leq x \leq b}\{|f(x)|\}$ o b) $V^b_a(f) \leq 2\max_{a \leq x \leq b}\{|f(x)|\}$ ??
No, ninguna de las dos cosas son necesariamente ciertas.
La variación total puede hacerse tan grande como se desee, incluso restringiendo el rango a un intervalo pequeño. Por ejemplo, $\sin(nx)$ en $[0, 2\pi]$ tiene una variación total $4n$ ya que la curva realiza $n$ oscilaciones completas en $[0, 2\pi]$ y, como hemos calculado anteriormente, cada oscilación contribuye con $4$ a la variación total. Esto significa que nunca obtendremos $V_a^b(f) \le \underline{\hspace{20pt}}$ donde el lado derecho depende únicamente del valor máximo o mínimo de $f$ o $|f|$ ya que se puede hacer que el lado izquierdo llegue hasta el infinito, mientras que el lado derecho está acotado.
Tampoco tenemos $V_a^b(f) \ge 2\max_{a \le x \le b} |f(x)|$ porque, si $f$ es una función constante, por ejemplo $f(x) = 1$ para todos $x$ entonces $V_a^b(f) = 0$ pero $2\max_{a \le x \le b} |f(x)| = 2$ .
