Demostración de la convergencia de una sucesión infinita

Question

Una cuestión que he intentado demostrar es la siguiente.

"Considere la siguiente secuencia definida recursivamente por $a_1=\sqrt{a}$ y $a_{n+1}=\sqrt{a+a_n}$ donde $a>2$ . (Los primeros términos son: $\sqrt{a}, \sqrt{a+\sqrt{a}}, \sqrt{a+\sqrt{a+\sqrt{a}}}...$ ) Demuestra que esta sucesión converge y halla su límite.

Para demostrar que la secuencia converge, he utilizado el siguiente argumento. Como la sucesión es monotónicamente creciente, puedo demostrar que esta sucesión converge encontrando un límite superior. He especulado que

$$ \sqrt{a+\sqrt{a+\sqrt{a...}}}<a $$ Sin embargo, no sé cómo demostrar formalmente esta desigualdad. Mi argumento, más bien informal, a favor de la veracidad de la desigualdad es el siguiente: $$ \sqrt{a}<a $$ $$ \sqrt{a+\sqrt{a}}<a $$ porque $\sqrt{a}<a<a^2-a$ para $a>2$ (por el principio del hipódromo) $$ \sqrt{a+\sqrt{a+\sqrt{a}}}<a $$ porque el hecho de que $\sqrt{a+\sqrt{a}}<a$ para $a>2$ implica que $\sqrt{a+\sqrt{a+\sqrt{a}}}<\sqrt{2a}<a$ para a>2, por el principio de la pista de carreras.

y así sucesivamente. ¿Se acepta este tipo de argumento? Si no, ¿cómo puedo demostrar que la secuencia infinita tiene un límite?

Por favor, no dé el límite de la secuencia, que ya he averiguado que es $\frac{1+\sqrt{1+4a}}{2}$ .

Answer 1

Es bastante fácil demostrar tu desigualdad por inducción. $a_1=\sqrt{a}<a$ se mantiene porque $a>2>1$ . Supongamos que $a_n<a$ . Entonces $$ a_{n+1}^2=a+a_n<2a<a^2. $$ La primera desigualdad anterior utiliza la hipótesis de inducción, la segunda la suposición de que $a>2$ . Ahora saca la raíz cuadrada y se cumple la afirmación.