He estado trabajando en la evaluación del siguiente límite: $$\lim_{x\to 0} \left(\csc(x^2)\cos(x)-\csc(x^2)\cos(3x) \right)$$
Según mi calculadora, el límite debería terminar siendo 4 .
Aunque he intentado utilizar el siguiente proceso para encontrar el límite, sigo obteniendo -4 :
$$\begin{align} \lim_{x\to 0} \left(\frac{\cos(x)-\cos(3x)}{\sin(x^2)}\right)&=\lim_{x\to 0} \left(\frac{\cos(x) - \cos(2x+x)}{\sin(x^2)}\right)\\ &=\lim_{x\to 0} \left(\frac{\cos(x) - \cos(2x)\cos(x) - \sin(2x)\sin(x)}{\sin(x^2)}\right)\\ &=\lim_{x\to 0} \left(\frac{\cos(x) - \left(1-2\sin^2(x)\right)\cos(x) - 2\sin^2(x)\cos(x)}{\sin(x^2)}\right)\\ &=\lim_{x\to 0} \left(\frac{\cos(x) - \cos(x)-2\sin^2(x)\cos(x)-2\sin^2(x)\cos(x)}{\sin(x^2)}\right)\\ &=\lim_{x\to 0} \left(\frac{\cos(x) - \cos(x)-4\sin^2(x)\cos(x)}{\sin(x^2)}\right)\\ &=\lim_{x\to 0} \left(\frac{-4\sin^2(x)\cos(x)}{\sin(x^2)}\right)\\ &=\lim_{x\to 0} \left(\frac{\frac{d}{dx}\left(-4\sin^2(x)\cos(x)\right)}{\frac{d}{dx}\left(\sin(x^2)\right)}\right)\\ &=\lim_{x\to 0} \left(\frac{-4\cos^2(x)\cos(x)-\sin^2(x)\sin(x)}{\cos(x^2)}\right)\\ &=\frac{-4\cdot1 - 0}{1} \\ &=-4 \end{align}$$
¿Hay algún lugar específico en mis pasos en el que me esté equivocando con respecto a la notación o distribución de signos negativos?
(Además, disculpas por los pasos adicionales... y el posible orden incorrecto de etiquetas, funciones y símbolos).
