Cómo encontrar la estabilidad de un sistema no lineal de tercer orden

Question

Supongamos que tenemos un sistema de tercer orden, reducido a tres de primer orden en la forma

$\dot x_1 = x_2 \\ \dot x_2 = x_1 + x_3F(x_1) \\ \dot x_3 = x_3F(x_1)$

Supongamos que sabemos $F(0) = 0$

¿Cómo hallamos la estabilidad en torno al punto de equilibrio?

Mi suposición era tratar de usar Lyupunov pero estoy teniendo problemas para ver cómo funciona. Creo que el único punto de equilibrio es $x = 0$ pero no sé a dónde ir. Si el sistema fuera de segundo orden, podría utilizar retratos de fase, ¿hay algo similar para el tercer orden?

Además, parece que faltan recursos sobre este material, ¡cualquier sugerencia sería útil!

Gracias

Answer 1

Un punto de equilibrio requiere que todas las derivadas temporales sean cero. Ajustando las tres ecuaciones diferenciales a cero se obtiene

\begin{align} \dot{x}_1 &= x_2 = 0 \\ \dot{x}_2 &= x_1 + x_3\,F(x_1) = 0 \\ \dot{x}_3 &= x_3\,F(x_1) = 0 \end{align}

La primera ecuación da $x_2=0$ . Sustituyendo la tercera ecuación por la segunda se obtiene $x_1 + 0 = 0$ así que $x_1=0$ . Desde $F(0)=0$ y $x_1=0$ en un punto de equilibrio obtenemos $x_3\,F(x_1)=x_3\,0=0$ Así que $x_3$ puede ser cualquier cosa.