Sea $\mathbf A_T$ denotan el producto directo restringido $\mathbf R\times \prod'_{p\in T}\mathbf Q_p$ (en relación con los subgrupos $\mathbf Z_p$ , $p\in T$ ).
La OP preguntaba si el Pontryagin dual de $S^{-1}\mathbf Z$ es isomorfo a $\mathbf A_T/(S^{-1}\mathbf Z)$ . Hagámoslo en dos pasos:
Primer paso: $\mathbf Q_p/\mathbf Z_p$ es canónicamente isomorfo (como grupo abstracto) al subgrupo de $\mathbf R/\mathbf Z$ formado por elementos cuyo orden es una potencia de $p$ (cartografía $p^{-n}\in \mathbf Q_p$ a $p^{-n}\in \mathbf R/\mathbf Z$ determina esta incrustación). Esto da lugar a un elemento $\psi_p\in \hat{\mathbf Q}_p$ que desaparece en $\mathbf Z_p$ pero no en $p^{-1}\mathbf Z_p$ . Defina también $\psi_\infty$ sea el mapa cociente $\mathbf R\to \mathbf R/\mathbf Q$ compuesto con el mapa de inversión $x\mapsto -x$ .
Paso 2: La fórmula $(a_p)\mapsto ((x_p)\mapsto \exp(2\pi i \sum_{p\in T\cup \{\infty\}} \psi_p(a_p x_p)))$ define un isomorfismo $\mathbf A_T\to \widehat{\mathbf A_T}$ . Bajo este isomorfismo $S^{-1}\mathbf Z$ corresponde precisamente a los caracteres que desaparecen en $S^{-1}\mathbf Z$ estableciendo el isomorfismo $S^{-1}\mathbf Z=\widehat{\mathbf A_T/S^{-1}\mathbf Z}$ (esto se puede ver con la ayuda de expansiones parciales de fracciones de números racionales).
