Extremos de cocientes de Grupos de Coxeter

Question

Sea C(p,q) el grupo Coxeter:

$C(p,q):= \langle a,b,c\hspace{1mm}|\hspace{1mm} a^2,b^2,c^2,(ac)^2,(ab)^p, (bc)^q \rangle$

para números enteros $p,q$ s.t. $\frac{1}{p}+\frac{1}{q}<\frac{1}{2}$ . Este grupo es infinito y de un solo fin.

Sea $G$ un grupo infinito obtenido a partir de $C(p,q)$ añadiendo algunas relaciones a la presentación anterior. Puede $G$ tener 2 o infinitos extremos?

Answer 1

No. Su grupo tiene la Propiedad FA de Serre, lo que significa que cualquier acción sobre un árbol tiene un punto fijo global. (Esto puede deducirse del hecho de que tiene un grupo generador tal que cada elemento es de torsión, y algún producto de cada par de elementos es también de torsión).

Supongamos ahora que algún cociente $G$ tiene más de un extremo. Por el Teorema de Stallings, $G$ actúa sobre un árbol sin punto fijo global, por lo que $C(p,q)$ también. Esto es una contradicción.