¿Por qué distinguimos el espectro continuo y el espectro residual?

Question

Como sabemos, el espectro continuo y el espectro residual son dos casos en el espectro de un operador, que sólo aparecen en dimensión infinita.

Si $T$ es un operador del espacio de Banach $X$ a $X$ , $aI-T$ es inyectiva, y $R(aI-T)$ no es $X$ . Si $R(aI-T)$ es denso en $X$ entonces $a$ pertenece al espectro continuo, no, $a$ pertenece al espectro residual.

Quiero saber por qué nos importa si $R(aI-T)$ es denso, gracias.

Answer 1

El punto $\lambda\in\mathbb{C}$ pertenece al espectro del operador $T$ si el operador $T_\lambda:=T-\lambda I$ no es invertible.

¿Qué puede prevenir $T_\lambda$ de ser invertible? Recordemos que estamos trabajando en un espacio de Banach $X$ por lo que la invertibilidad es equivalente a la biyectividad. Por lo tanto, tenemos que estudiar las razones por las que el operador $T_\lambda$ no puede ser biyectiva. Podemos distinguir dos casos:

• el operador $T_\lambda$ no es inyectiva

• operador $T_\lambda$ es inyectiva pero no suryente

Ahora discutimos estos casos.

1) La primera es la más común. En este caso $\mathrm{Ker}(T_\lambda)$ no es trivial por lo que $T_\lambda$ no es invertible, y decimos que $\lambda$ está en el espectro de puntos. Si $X$ es de dimensión finita este es el único caso posible para que el operador no sea biyectivo. La razón es que un operador inyectivo en un espacio de dimensión finita es automáticamente suryectivo. Pero en el caso $X$ ¡es infinitamente dimensional hay ejemplos de operadores inyectivos pero no suryentes!

2) En el segundo caso tenemos operadores inyectivos pero no suryentes. Esto significa que la imagen del operador $\mathrm{Im}(T)$ (que es un subespacio lineal) no es todo el espacio $X$ . Si $X$ es de dimensión finita es imposible que el operador $T_\lambda$ sea inyectiva pero no suryente, por lo que no es el caso. Si $X$ es de dimensión infinita hay dos posibilidades para el subespacio $\mathrm{Im}(T_\lambda)$ no ser el todo $X$ . Aquí tenemos dos casos:

2.1) $\overline{\mathrm{Im}(T_\lambda)}=X$ , hablando de manera informal $T_\lambda$ es "casi sobreyectiva". En este caso decimos que $\lambda$ está en el espectro continuo.

2.2) $\overline{\mathrm{Im}(T_\lambda)}\neq X$ , hablando de manera informal $T_\lambda$ es "esencialmente no subjetivo", incluso el cierre de su imagen es un subespacio propio de $X$ ¡! En este caso decimos que $\lambda$ está en el espectro residual.

Existen otras clasificaciones de puntos del espectro, pero ésta es la más común.

Answer 2

Como señalan M. Reed, B. Simon en la sección VI.3 de su "Methods of Modern Mathematical Physics: Functional Analysis":

La razón por la que destacamos el espectro residual es que no se produce para una gran clase de operadores, por ejemplo, para los operadores autoadjuntos.