Creo que hay varias maneras de entender esto de forma intuitiva, así que voy a intentar explicar cada una de ellas, y espero que te resulte útil.
Primera explicación: A nivel global para los mapas de similitud.
Sea $M$ sea una variedad, y consideremos un mapa conforme $f\colon M\to M$ . (Por conforme entendemos que $Df_x$ es un múltiplo escalar de una isometría). El caso más sencillo de considerar es aquel en el que $\|Df_x\|$ es constante en todas partes, digamos $\|Df_x\| = e^\lambda$ para algunos $\lambda > 0$ Por ejemplo, consideremos el caso en que $M$ es el $n$ -toroide tridimensional $\mathbb{R}^n/\mathbb{Z}^n$ y $f(x)=e^\lambda x$ .
En este caso, $\lambda$ es el exponente de Lyapunov de cada punto en $M$ y se puede comprobar fácilmente que si $B(x,n,\delta)$ es la bola de Bowen de radio $\delta$ y orden $n$ entonces $B(x,n,\delta) = B(x,\delta e^{-\lambda n})$ . Las bolas métricas $B(x,\delta e^{-\lambda n})$ se utilizan en la definición de la dimensión de Hausdorff, mientras que las bolas de Bowen $B(x,n,\delta)$ se utilizan en la definición de entropía. Si en lugar de la definición clásica de entropía se utiliza la definición de Bowen como característica de la dimensión de Caratheodory (véase el libro de Pesin, por ejemplo), entonces la definición de entropía es una transcripción literal de la definición de dimensión de Hausdorff, con las bolas de Bowen sustituyendo a las bolas métricas. En particular, es bastante sencillo ver que $$ \text{Hausdorff dimension} = \frac{\text{topological entropy}}{\text{Lyapunov exponent}}. \qquad \qquad \text{(1)} $$ A cierto nivel, todo lo demás no es más que una elegante generalización de (1). De hecho, en el caso mencionado, el potencial $\log \|Df_x\|$ es igual a $\lambda$ en todas partes, por lo que la función de presión viene dada por $$ P_\Lambda (-t\log \|Df_x) = h_\mathrm{top}(\Lambda, f) - t \lambda $$ utilizando las propiedades básicas de la presión. La raíz única de esta ecuación es $t=h_\mathrm{top}(\Lambda, f) / \lambda$ que, según (1), es exactamente la dimensión de Hausdorff.
Segunda explicación: A nivel local para mapas arbitrarios .
Consideremos ahora un mapa conforme arbitrario, por lo que $\|Df_x\|$ puede variar de un punto a otro. Una forma de calcular tanto la dimensión de Hausdorff como la entropía/presión topológica es mediante el uso de medidas (invariantes), por lo que dejemos que $\mu$ sea una medida invariante. Entonces, si sabes algo sobre las dimensiones puntuales y entropías locales de $\mu$ Si se conoce la dimensión de Hausdorff, se puede utilizar ese conocimiento para calcular (o al menos estimar) cantidades dimensionales globales como la dimensión de Hausdorff, la entropía y la presión. Pero a nivel local, sujeto a algunas estimaciones de distorsión acotada, no es demasiado difícil demostrar que $$ d_\mu(x) = \frac{h_\mu(x)}{\lambda(x)}; $$ es decir, que $$ \text{pointwise dimension} = \frac{\text{local entropy}}{\text{Lyapunov exponent}}, $$ una buena contrapartida a (1) en este contexto más general.
Tercera explicación: Como una generalización de la ecuación de Moran.
Si se construye un conjunto de Cantor en el intervalo (o, de hecho, en $\mathbb{R}^n$ ) utilizando $k$ conjuntos básicos en cada etapa de la construcción, cada uno de los cuales se reduce en un factor de $\lambda_k$ del conjunto básico en la etapa anterior que lo contiene, entonces el teorema de Moran dice que la dimensión de Hausdorff del conjunto de Cantor resultante es el único valor de $t$ tal que $$ \lambda_1^t + \cdots + \lambda_k^t = 1. \qquad \qquad \text{(2)} $$ Si se toma el logaritmo de ambos lados, se obtiene un caso especial de la ecuación de Bowen. Probablemente el caso más fácil de ver es cuando $k=2$ y $\lambda=1/3$ ; entonces la solución única de (2) es $t=\log 2/\log 3$ como era de esperar. Así que uno puede pensar en la ecuación de Bowen como la generalización natural de la ecuación de Moran a la configuración donde los coeficientes de relación pueden variar en cada etapa de la construcción de un conjunto de Cantor.
Referencias: Incluimos una discusión y demostración del Teorema de Moran en el capítulo 2 de Conferencias sobre geometría fractal y sistemas dinámicos de Yakov Pesin y Vaughn Climenhaga, y la relación (1) y sus hermanos aparecen en varios lugares de los cuatro primeros capítulos de ese libro. Y si no es demasiado desmañado seguir refiriéndome a mi propio trabajo, señalaré que "la ecuación de Bowen en el entorno no uniforme", que es aquí en el arXiv, contiene algunas formulaciones más precisas y detalladas de algunas de las cosas que he dicho más arriba.
