Polinomios para la suma en los vectores de Witt

Question

La adición de $p$ -vectores Witt típicos ( $p$ un número primo) viene dado por los polinomios universales $S_n=S_n(X_0,\dots,X_n;Y_0,\dots,Y_n)\in\mathbb{Z}[X_0,X_1,\dots;Y_0,Y_1,\dots]$ determinado por las igualdades

$\Phi_n(S_0,\dots,S_n)=\Phi_n(X_0,\dots,X_n)+\Phi_n(Y_0,\dots,Y_n)$ para todos $n\ge 0$ ,

donde

$\Phi_n(T_0,\dots,T_n)=(T_0)^{p^n}+p(T_1)^{p^{n-1}}+\dots+p^nT_n$ .

Supongo que quien ve por primera vez los vectores de Witt escribe explícitamente $S_0=X_0+Y_0$ , $S_1=X_1+Y_1+\frac{1}{p}((X_0)^p+(Y_0)^p-(X_0+Y_0)^p)$ tal vez $S_2$ si es valiente, y luego se detiene, ya que el cálculo se vuelve extremadamente complicado. Creo que no hay una expresión explícita razonable en general, pero parece que existen patrones y mi pregunta es sobre cómo hacer estos patrones más precisos. Antes de preguntar, permítanme ilustrarlo con $S_2$ . Es fácil ver que existe una secuencia única de polinomios $R_n\in\mathbb{Z}[X,Y]$ , $n\ge 0$ tal que

$X^{p^n}+Y^{p^n}=R_0(X,Y)^{p^n}+pR_1(X,Y)^{p^{n-1}}+\dots+p^nR_n(X,Y)$ .

Por ejemplo $R_0=X+Y$ y $R_1=\frac{1}{p}(X^p+Y^p-(X+Y)^p)$ . Entonces:

$S_1=R_0(X_1,Y_1)+R_1(X_0,Y_0)$

$S_2=R_0(X_2,Y_2)+R_1(X_1,Y_1)+R_1(R_0(X_1,Y_1),R_1(X_0,Y_0))+R_2(X_0,Y_0)$ .

¿Puede alguien hacer la forma de $S_n$ más preciso, por ejemplo, en la forma $S_n=P_0+\dots+P_n$ presumiblemente con $P_0=R_0(X_n,Y_n)$ , $P_n=R_n(X_0,Y_0)$ ? El intermediario $P_i$ son más complicadas, pero deberían estar determinadas (de forma única) por una condición del tipo
" $P_i$ es una composición iterada de $R_i$ en la que sólo intervienen las variables $X_0,\dots,X_i$ ".
Tal vez los polinomios $P_i$ debe ser homogénea con respecto a alguna graduación.

Se agradecerá cualquier pista o referencia pertinente. Gracias.

Answer 1

He encontrado una fórmula para $S_n$ en términos de la anterior $S_i$ y los polinomios $R_i$ lo cual me alegra bastante. De hecho, necesito la versión multivariante del $R_i$ que construiré al mismo tiempo. Consideremos el anillo de las series formales de potencias en un número contable de variables $X_1,X_2,\dots$ con coeficientes enteros, es decir $A=\mathbb{Z}[[X_1,X_2,\dots]]$ . Nótese que existen varias nociones de series de potencias en infinitas variables; la mía es la de Bourbaki, donde el módulo subyacente de $A$ no es más que el producto de copias de $\mathbb{Z}$ indexados por multiíndices (¡finitamente soportados!). (Algunas personas exigen que los componentes homogéneos de una serie de potencias sean polinomios; éste no es el caso aquí). Entonces se puede ver que existe una secuencia única $(R_n)$ de elementos de $A$ tal que para todo $n\ge 0$ tenemos

$X_1^{p^n}+X_2^{p^n}+\dots=R_0^{p^n}+pR_1^{p^{n-1}}+\dots+p^nR_n$

donde a la izquierda está la suma de todos $p^n$ -potencias de las variables. Esta es una aplicación directa de Bourbaki, Algèbre Commutative, Chapitre IX, $\S~1$ , no 2, prop. 2, c) con el endomorfismo $\sigma:A\to A$ definido por $\sigma(X_i)=X_i^p$ para todos $i$ . Ahora bien, si tenemos un número finito (digamos $s$ ), entonces establecemos $R_n(X_1,\dots,X_s)=R_n(X_1,\dots,X_s,0,0,\dots)$ . Ejemplos:

$R_0(X_1,\dots,X_s)=X_1+\dots+X_s$ y $R_1(X_1,\dots,X_s)=\frac{X_1^p+\dots+X_s^p-(X_1+\dots+X_s)^p}{p}$ .

Suponiendo que el $R_n$ son computables, tengo una receta inductiva para $S_n$ que es interesante porque muestra que todos los $p$ congruencias -ádicas que implican la integralidad del $S_n$ están contenidos en el $R_n$ . La receta es la siguiente. Por cada $i$ el polinomio $S_i$ es una suma de $2i$ términos (más adelante se verá cuáles son estos términos) y asumiendo $S_1,\dots,S_{n-1}$ se conocen entonces

$S_n=R_0Z_n+R_1Z_{n-1}+\dots+R_nZ_0+R_1S_{n-1}+R_2S_{n-2}+\dots+R_{n-1}S_1$

donde: $Z_j$ es la abreviatura del par de variables $(X_j,Y_j)$ , $R_iZ_j$ es la abreviatura de $R_i(X_j,Y_j)$ (la bivariante $R_i$ ) y $R_iS_j$ es el ( $2j$ -variable) polinómico $R_i$ evaluado en el $2j$ términos de $S_j$ . Espero que los siguientes ejemplos dejen claro lo que esto significa y su eficacia:

$S_1 = R_0 Z_1 + R_1 Z_0$

$S_2=R_0 Z_2 + R_1 Z_1 + R_2 Z_0 + R_1 (R_0 Z_1 , R_1 Z_0 )$

$S_3 = R_0Z_3+R_1Z_2+R_2Z_1+R_3Z_0 \\ \quad + R_1(R_0Z_2,R_1Z_1,R_2Z_0,R_1(R_0Z_1,R_1Z_0))+ R_2(R_0Z_1,R_1Z_0)$

$S_4 = R_0Z_4+R_1Z_3+R_2Z_2+R_3Z_1+R_4Z_0 \\ \quad + R_1(R_0Z_3,R_1Z_2,R_2Z_1,R_3Z_0,R_1(R_0Z_2,R_1Z_1,R_2Z_0,R_1(R_0Z_1,R_1Z_0)),R_2(R_0Z_1,R_1Z_0)) \\ \quad + R_2(R_0Z_2,R_1Z_1,R_2Z_0,R_1(R_0Z_1,R_1Z_0)) \\ \quad + R_3(R_0Z_1,R_1Z_0)$

La prueba de que la receta es correcta es un ejercicio.