Interpretación física de las condiciones límite Robin

Question

En un dominio (acotado) $\Omega \subset \mathbb{R}^n$ Si estamos estudiando la ecuación de Laplace o la ecuación del calor, podemos imponer la ecuación de Dirichlet. $u|_{\partial\Omega} \equiv 0$ , Neumann $D_{\nu} u|_{\partial\Omega}\equiv 0$ o Robin (para $\alpha \in \mathbb{R}$ ) $(D_{\nu} u + \alpha u)|_{\partial \Omega} \equiv 0$ .

Sé que, por ejemplo para la ecuación del calor, los valores propios de Dirichlet corresponden físicamente a que la frontera está en contacto con un (gran) baño de calor en $T=0$ . O, en la ecuación de Laplace, si nos interesan los modos soportados por $\Omega$ (como un tambor), se puede pensar que las condiciones de contorno de Dirichlet impiden que el contorno se mueva.

Las condiciones de contorno de Neumann, para el flujo de calor, corresponden a una frontera perfectamente aislada. Para la ecuación de Laplace y los modos de tambor, creo que corresponde a permitir que la frontera aletee arriba y abajo, pero que no se mueva de otro modo.

---

Mi pregunta es: ¿qué tipo de interpretaciones físicas existen para las condiciones límite de Robin? Wikipedia dice que están relacionados con problemas electromagnéticos, pero no da detalles. Me encantarían respuestas que no estuvieran necesariamente relacionadas con la física, por ejemplo, si hubiera algún lugar en el que las condiciones límite de Robin surgieran de forma natural en un contexto matemático, también me interesaría saberlo.

Answer 1

En el caso de la ecuación del calor hay un ejemplo muy típico.

Si tienes transferencia de calor por convección en una de las fronteras de tu dominio.

Imagina que tienes un sólido en el que estás resolviendo la ecuación del calor, y en algunos de los límites, tienes un líquido en contacto a temperatura $T_l$ . Si este líquido se mueve (convección forzada) o si dejas que se mueva por empuje de las partes más calientes frente a las más frías, entonces la condición de contorno que debes imponer al sólido en esa frontera es:

$$\vec q\cdot \vec{n} = h\left(T-T_l\right)$$ donde $h$ es el coeficiente de convección y $\vec q$ es la pérdida de calor por ese límite:

$$\vec q = -\kappa \boldsymbol{\nabla}T$$

así que finalmente tienes

$$\kappa\frac{\partial T}{\partial\vec{n}}+h\left(T-T_l\right)=0$$

y si haces un cambio de variable como $\theta = T - T_l$

obtienes tu condición de robin homogéneo

$$\kappa\frac{\partial \theta}{\partial\vec{n}}+h\theta=0$$

Answer 2

He aquí un ejemplo $\Omega = \mathbb{R}^3$ . Una forma de establecer la dispersión para la ecuación de onda consiste en tomar una transformada temporal de Fourier. Para ello hay que multiplicar por una función de corte soportada en $t \in [0,\infty)$ . Se obtiene entonces la ecuación

$(\Delta+\omega^2)\psi = F$

donde $\psi$ es la transformada temporal de Fourier del producto de la solución original con el corte, $\omega$ es la variable de Fourier, y $F$ es una función controlable por los datos iniciales a través de una desigualdad de energía en tiempo finito. Si este plan de ataque va a funcionar, tenemos que asegurarnos de que $\psi$ está determinada de manera única por $F$ . Por supuesto, esto requiere unas condiciones de contorno adecuadas en $\infty$ . Estos resultan ser

1) $\psi = O\left(|x|^{-1}\right)$

2) $\frac{\partial\psi}{\partial r} - i\omega\psi = O\left(|x|^{-2}\right)$

Se trata de una especie de condición Robin en el infinito. Véase http://terrytao.wordpress.com/2011/04/21/the-limiting-absorption-principle/ para más detalles.

Answer 3

Echa un vistazo Sección II.1.7 del texto de Tikhonov y Samarskii Ecuaciones de física matemática para una buena discusión de la interpretación física de las condiciones de contorno de Dirichlet, Neumann y Robin para el sencillo ejemplo de la ecuación de onda 1+1 ( $u_{tt} = u_{xx}$ ) que describe las vibraciones transversales de un muelle en el intervalo $x\in[0,l]$ .

He aquí un breve resumen. El valor de $u(t,0)$ es la posición transversal del muelle en $x=0$ . El valor de $u_x(t,0)$ es la componente vertical de la tensión, por lo que cualquier cosa conectada al muelle en este extremo experimentará esta fuerza vertical, y por la tercera ley de Newton aplicará la misma fuerza al extremo del muelle. He aquí las interpretaciones. Dirichlet, $u(t,0)=0$ El extremo del muelle se sujeta o fija transversalmente. Neumann, $u_x(t,0)=0$ el extremo del muelle está sometido a un movimiento transversal libre, a la inversa ninguna fuerza transversal externa actúa sobre este extremo. Robin, $u_x(t,0) = k u(t,0)$ se aplica una fuerza transversal linealmente restauradora al extremo del muelle, es decir, el extremo está restringido transversalmente, pero de forma elástica en lugar de rígida. En realidad, para que la fuerza sea restauradora, hay que elegir un signo determinado de $k$ que no me apetece averiguar en este momento.

Answer 4

Hay un libro de Daniel J. Hoppe, "Impedance Boundary Conditions In Electromagnetics", CRC, 1995. Doy aquí su resumen de Amazon.com que parece responder a la pregunta:

La dispersión electromagnética de objetos complejos ha sido un área de investigación en profundidad durante muchos años. Se han desarrollado y utilizado diversas metodologías para resolver problemas cada vez más complejos. Entre estas metodologías, el tema de las condiciones límite de impedancia ha interesado a los autores durante algún tiempo. En resumen, las condiciones límite de impedancia permiten sustituir una estructura compleja por una relación de impedancia adecuada entre los campos eléctrico y magnético en la superficie del objeto. Esto simplifica considerablemente la solución del problema, permitiendo ignorar la complejidad de la estructura interna bajo la superficie. Este libro examina las condiciones de contorno de impedancia en electromagnetismo. El capítulo introductorio ofrece una presentación del papel de las condiciones límite de impedancia en la resolución de problemas electromagnéticos prácticos y algunos antecedentes históricos. Uno de los principales objetivos de este libro es presentar una discusión unificada y completa de este importante tema. Se presenta un método basado en un enfoque de dominio espectral para derivar las condiciones de contorno de impedancia de orden superior (HOIBC). El método incluye todas las condiciones de contorno aproximadas existentes, como la condición de contorno de impedancia estándar, la condición de contorno de impedancia tensorial y las condiciones de contorno de impedancia generalizadas, como casos especiales. El enfoque de dominio especial es aplicable a revestimientos y tratamientos superficiales complejos, así como a revestimientos dieléctricos simples. El enfoque de dominio espectral se emplea para determinar las condiciones de contorno adecuadas para revestimientos dieléctricos planares, revestimientos quirales y conductores corregidos. Se analiza la precisión de las condiciones de contorno propuestas. A continuación, se amplía el enfoque para incluir los efectos de la curvatura y se aplica a revestimientos dieléctricos y quirales curvos. Se presentan datos numéricos para evaluar críticamente la precisión de los resultados obtenidos utilizando diversas formas de las condiciones límite de impedancia. También se incluye una serie de apéndices que proporcionan más detalles sobre algunos de los temas tratados en el cuerpo principal del libro y una lista selectiva de referencias directamente relacionadas con los temas tratados en este libro.

Answer 5

Las condiciones Robbins corresponden a la inmersión de un extremo de la varilla en un baño de temperatura constante. El baño de temperatura no tiene por qué coincidir con la temperatura inicial del extremo de la varilla. El extremo sumergido de la varilla puede entrar en equilibrio térmico con el baño, o puede producirse una diferencia de temperatura constante (para garantizar un flujo de calor constante).

En termodinámica, siempre se hace referencia a los depósitos de trabajo (fuentes de energía mecánica ideales que pueden realizar trabajo de forma reversible sin que aumente la entropía) y a los depósitos de calor que pueden transferir calor sin que cambie la temperatura (del depósito). Un depósito de calor de este tipo puede conseguirse convirtiéndolo en una mezcla de agua y hielo, de modo que la temperatura del baño se mantenga debido al cambio de fase que se produce.

La propia condición de Robbins puede interpretarse como un enunciado de la ley de Newton del calentamiento (enfriamiento): la velocidad de transferencia de calor es directamente proporcional a la diferencia de temperatura (entre el objeto caliente y el frío).

dQ/dt ̇ = h(To - T) Ley de Newton de transferencia de calor.

Aquí dQ/dt representa la velocidad de transferencia de calor entre el extremo de la varilla y el baño de temperatura.

La constante h es un coeficiente de capa límite térmica cuyo recíproco representa la IMPEDANCIA a la transferencia de calor.

To es la temperatura del baño.

T es la temperatura del extremo de la varilla.

Podemos obtener una condición de Robbins de esto invocando la primera ley de Fourier de la conducción del calor:

q = -k dT/dx

Aquí q es el flujo de calor e igual a (1/A)(dQ/dt) donde dQ/dt es la tasa de transferencia de calor y A es el área transversal de la varilla sólida.

Combinando la ley de transferencia de calor de Newton con la primera ley de conducción de Fourier se obtiene

-kA dT/dx = h(To - T) extremo derecho sumergido

kA dT/dx = h(To - T) extremo izquierdo sumergido

Una forma equivalente es dT/dx - aT = b o dT/dx + aT = b donde a y b son constantes dependientes de k, A, h y To.

El concepto de impedancia está oculto en una condición Robbins porque la ley de Newton del calentamiento (enfriamiento) está oculta. La condición de Robbins surge de aplicar la ley de Newton.

La ley de Newton del enfriamiento es una ecuación de impedancia y el recíproco de h (el coeficiente de la capa límite térmica) actúa como una resistencia. Una buena analogía es comparar la velocidad de transferencia de calor con la corriente, la diferencia de temperatura con la tensión y la capa límite térmica con una resistencia.