He visto que hay muchas preguntas sobre "aplicaciones" en Mathoverflow; así que espero que ésta sea una pregunta apropiada. Me sorprendió bastante que hasta ahora sólo hubiera cinco preguntas en Mathoverflow con la etiqueta diofantina-aproximación, mientras que hay casi 900 preguntas sobre teoría de números en general. Es mi intención promocionar un poco este importante tema haciendo una pregunta más.
Pregunta:
¿Cuáles son algunas aplicaciones sorprendentes del teorema de Baker sobre límites inferiores para formas lineales en logaritmos de números algebraicos?
Si, por ejemplo, estuviera en una discusión con una persona que no tiene experiencia con la aproximación diofántica, para inculcarle la importancia del teorema de Baker citaría los dos ejemplos siguientes:
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Dando límites efectivos para soluciones de ecuaciones diofantinas (la mayoría de las veces exponenciales) bajo condiciones favorables. Por ejemplo, el trabajo de Tijdeman sobre la conjetura catalana, o la obtención de límites efectivos para el teorema de Siegel, el último teorema de Fermat, el teorema de Falting, etc., en determinados casos.
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Resultados de trascendencia que suponen mejoras significativas respecto a Gelfond-Schneider. En particular, el teorema de que si $\alpha_1, \ldots, \alpha_n$ son $\mathbb{Q}$ -linealmente independientes, entonces sus exponenciales son algebraicamente independientes sobre $\mathbb Q$ . Citaría la exposición de Waldschmidt para más detalles.
Estas son, para mí, razones de peso para estudiar el teorema de Baker. Pero como no sé mucho más sobre el tema, me quedaría sin argumentos después de estos dos. Agradecería cualquier ejemplo más llamativo del poder del teorema de Baker. Esto es 1. para mi propia iluminación, 2., para uso futuro si un argumento como el que hipoteticé arriba realmente sucede, 3. Para promover el tema de la aproximación diofantina en este foro, especialmente en la forma del teorema de Baker.
