Tengo una esfera con ecuación $x^2 + y^2 + z^2 = R^2$ con tres puntos arbitrarios en su superficie: A = ( $x_A, y_A, z_A$ ), B = ( $x_B, y_B, z_B$ ) y C = ( $x_C, y_C, z_C$ ).
Se trazan los arcos de círculo AC, BC y AB [utilizando el origen como centro de cada círculo].
¿Cómo puedo hallar el área de la superficie de la esfera encerrada por estos tres arcos?
Dos de los tres vectores cualesquiera ${\bf a}$ , ${\bf b}$ , ${\bf c}$ abarcan un plano que interseca la esfera en un lado del triángulo $\triangle:=\triangle({\bf a},{\bf b},{\bf c})$ . Para calcular el área de $\triangle$ necesitamos sus ángulos. Estos son los ángulos entre dichos planos, por lo tanto tenemos que calcular ${\bf n}_c:={\bf a}\times{\bf b}$ , $\ldots\ $ . De esta forma obtenemos (¡comprueba la orientación de las normales!) $$\cos\alpha= {{\bf n}_b\cdot{\bf n}_c\over|{\bf n}_b|\ |{\bf n}_c|},\quad\ldots\ .$$ El área de $\triangle$ viene dada por la fórmula $${\rm area}(\triangle)=(\alpha+\beta+\gamma-\pi)\>R^2\ .$$
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