Encontrar las líneas invariantes de un campo vectorial

Question

¿Cómo puedo encontrar las líneas invariantes del siguiente sistema:

$x' = x(1-x+y)$

$y' = y(1-3x-y)$

Los puntos fijos del sistema son $\{(0,0),(0,1),(1,0),(0.5,-0.5)\}$

Sé que hay 4 líneas. Las líneas invariantes $x = 0$ y $y = 0$ son triviales.

¿Cómo encuentro los 2 restantes?

Answer 1

En efecto, las líneas invariantes son 4. Las otras 2 excepto la trivial $x=0$ y $y=0$ son $$x+y=0$$ y $$x+y-1=0$$ Esto se desprende directamente de $$\frac{d}{dt}(x+y)=-(x+y-1)(x+y)$$ y de forma similar $$\frac{d}{dt}(x+y-1)=-(x+y)(x+y-1)$$ Si se parte de la parametrización $$ax+by=c\qquad\qquad (1)$$ entonces para la invariancia debemos tener $$\frac{d}{dt}(ax+by-c)=0$$ o equivalentemente $$ax(1-x+y)+by(1-3x-y)=0\qquad\qquad (2)$$ Para $b\neq 0$ resolviendo (1) wrt $y$ y sustituyéndolo en (2) obtenemos $$\frac{c}{b}(b-c)+\frac{3c}{b}(a-b)x+\frac{2a}{b}(b-a)x^2=0$$ que se cumple para cada $x$ si

a) $a=0$ y $c=0$ (solución trivial $y=0$ )

b) $a=b$ y $c=0$ (caso $x+y=0$ )

c) $a=b$ y $c=b$ (caso $x+y-1=0$ )

Por último, para $b=0$ obtenemos la otra solución trivial $x=0$ .