¿Existen recursos "elementales" sobre Techos de Penrose en relación con geometría no conmutativa ? Para mí todo está muy borroso. Hay dos transformaciones S y T que pueden hacer crecer los mosaicos y cada mosaico corresponde a una secuencia de S y T. De alguna manera, hay un álgebra C* relacionada con esto.
¿Pueden interpretarse los elementos de esta álgebra como observables en un sistema mecánico cuántico? ¿Cuál es la "geometría" de este espacio no conmutativo?
No tengo ninguna referencia mágica para ti, ni entiendo muy bien el punto de vista del NCG sobre el mosaico de Penrose. Aprendí lo suficiente sobre esto para convencerme de que no necesitaba aprender más, e intentaré transmitir el consuelo que logré.
En primer lugar, permítanme decir unas palabras sobre la filosofía de la NCG de Connes. La premisa básica es que a veces, cuando se tiene un espacio dotado de una relación de equivalencia, no es necesariamente una buena idea pasar al espacio de las clases de equivalencia. Las justificaciones más publicitadas de esta premisa son ejemplos en los que el espacio es agradable y la relación de equivalencia es agradable, pero el cociente es miserable, pero quiero señalar antes de continuar que las herramientas de NCG siguen siendo extremadamente útiles cuando el cociente es agradable (como cuando una variedad se ve como el cociente de su cubierta universal por su grupo fundamental).
Así es como funciona la filosofía para los tilings de Penrose. Un mosaico de Penrose es un mosaico del plano formado por copias isométricas de dos triángulos específicos que sólo pueden conectarse de unas pocas formas muy concretas. Véase la página 181 de Libro de Connes para ver fotos (y una descripción más detallada, aunque elemental, de lo que voy a decir). Declaramos que dos tilings de Penrose son equivalentes si existe una isometría del plano que lleva uno al otro. Hay una forma más práctica de expresar el espacio de los tilings de Penrose modulo esta relación de equivalencia interpretándola combinatorialmente. Es el espacio de secuencias $(a_n)$ de $0$ y $1$ con la propiedad de que $a_{n+1} = 0$ siempre que $a_n = 1$ modulo la relación de equivalencia de igualdad eventual: $a_n = b_n$ para $n$ suficientemente grande. Lo que no es necesariamente obvio al principio es que este espacio no tiene ninguna estructura local sensata. En términos de los mosaicos de Penrose, esto puede expresarse observando que cualquier parche finito en un mosaico aparece infinitamente a menudo en cualquier otro mosaico de los mismos mosaicos.
Ya existe una forma estándar de integrar esta configuración en la maquinaria de NCG. Cualquier relación de equivalencia en un espacio da lugar a un cierto grupoide cuyos objetos son puntos del espacio y cuyos morfismos están determinados por la relación de equivalencia. Se supone que la idea es que el groupoide mantiene un registro de los puntos del espacio que son equivalentes, así como la razón por la que lo son, en lugar de reducir violentamente cada clase de equivalencia a un único punto. En la mayoría de los casos, es posible dotar al groupoide de un sistema de medidas compatible y, a continuación, utilizar la integración con respecto a dicho sistema para definir un producto de convolución en un espacio de funciones adecuado sobre el groupoide (por lo general, el espacio original y el groupoide tienen una topología y el espacio de funciones es el espacio de funciones continuas). El álgebra C* del groupoide se define como una cierta terminación de esta álgebra de convolución.
Obsérvese que nada de lo dicho en el último párrafo tiene que ver esencialmente con los detalles de la construcción de mosaicos de Penrose: se trata de un procedimiento puramente mecánico que parte de una relación de equivalencia y escupe un álgebra C*. Se puede considerar análogo al procedimiento de sustituir una función por un operador (en este caso la convolución contra la función) que en física se conoce como "cuantización". De hecho, varios tipos de cuantización en física pueden realizarse mediante álgebras de convolución en groupoides, aunque los groupoides son generalmente más complicados que los que surgen de una relación de equivalencia. Hasta donde yo sé, la relación entre los tilings de Penrose y la física termina con esta analogía. Podría estar trágicamente equivocado.
Así que cuando preguntas por la "geometría" del espacio no conmutativo de los tilings de Penrose, en realidad estás preguntando por la estructura del álgebra C* escupida por la máquina descrita anteriormente. ¿Cuál es la estructura de esta álgebra C*? La verdad es que no lo sé. Connes afirma que tiene un centro trivial y una traza única, lo que tiene consecuencias en su estructura "teórica de la medida". Fue en este punto de la historia cuando me di cuenta de que me interesa más la geometría de los múltiples y decidí seguir adelante. Aun así, no me extrañaría que esta historia fuera mucho más de lo que parece.
Gran parte de la obra de Johannes Kellendonk trata de las aplicaciones físicas de los tilings de Penrose. Sin embargo, yo no diría que es "elemental", pero cada cual elige.
En el apartado 1.1 de este simpático documento se ofrece una descripción concisa al respecto. Árboles, ultramétrica y geometría no conmutativa por Bruce Hughes: http://arxiv.org/abs/arXiv:math/0605131 .
Esto no es particularmente elemental, supongo, pero es una línea de investigación que parte del ejemplo de Connes.
Espero que le sirva de ayuda.
Estos ( 1 , 2 , 3 ) me parecen elementales, pero sólo los he hojeado muy superficialmente. EdiT: Un artículo reciente: "C*-algebras de tilings hiperbólicos de Penrose" .
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