¿Es cierto lo de los números primos de Fermat?

Question

Sea cada primo de la forma $2^n+1$ llamarse "Prima de Fermat" (sé que la definición real es utilizando $2^{2^{n}}+1$ para facilitar las cosas). Por definición, tenemos que $p$ será un primo de Fermat si y sólo si es primo y no es de la forma $qn+1$ para cualquier primo $q$ tal que $2<q<p$ .

Entonces, por el Teorema de Dirichlet sobre progresiones aritméticas, tenemos que, como $N \to \infty$ el número de primos de la forma $qn+1$ inferior a $N$ tenderá a ser la misma que la de los primos de la forma $qn+2$ y del uno de los primos de la forma $qn+3$ y así hasta $qn+(q-1)$ .

Por lo tanto, para conocer el número de Primas de Fermat como $N \to \infty$ Tenemos eso:

1. Sólo los primos de la forma $3n+2$ puede ser un primo de Fermat. Entonces, como $N \to \infty$ El número de FM será inferior a $\pi(N)\frac{1}{2}$ .

2. Sólo los primos de la forma $5n+2, 5n+3$ y $5n+4$ puede ser un primo de Fermat. Entonces, como $N \to \infty$ El número de FM será inferior a $\pi(N)\frac{1}{2}\frac{3}{4}$ .

3. ...

Si seguimos así, lo conseguiremos: $$\lim_{N \to \infty}\pi_{\text{FermatPrimes}}(N)=\lim_{N \to \infty} \pi(N)\prod_{p>2}\frac{p-2}{p-1}=K \lim_{N \to \infty} \frac{\pi(N)}{\log{(N)}}$$

Que diverge claramente.

¿Es cierto?

Answer 1

Su derivación (o más bien, su heurística, ya que hay que tratar cuestiones de convergencia del proceso de limitación) sólo da condiciones necesarias para que los primos sean primos de Fermat, no condiciones suficientes. Por tanto, la expresión que derivas es simplemente un límite superior, no una fórmula asintótica.