Sea cada primo de la forma $2^n+1$ llamarse "Prima de Fermat" (sé que la definición real es utilizando $2^{2^{n}}+1$ para facilitar las cosas). Por definición, tenemos que $p$ será un primo de Fermat si y sólo si es primo y no es de la forma $qn+1$ para cualquier primo $q$ tal que $2<q<p$ .
Entonces, por el Teorema de Dirichlet sobre progresiones aritméticas, tenemos que, como $N \to \infty$ el número de primos de la forma $qn+1$ inferior a $N$ tenderá a ser la misma que la de los primos de la forma $qn+2$ y del uno de los primos de la forma $qn+3$ y así hasta $qn+(q-1)$ .
Por lo tanto, para conocer el número de Primas de Fermat como $N \to \infty$ Tenemos eso:
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Sólo los primos de la forma $3n+2$ puede ser un primo de Fermat. Entonces, como $N \to \infty$ El número de FM será inferior a $\pi(N)\frac{1}{2}$ .
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Sólo los primos de la forma $5n+2, 5n+3$ y $5n+4$ puede ser un primo de Fermat. Entonces, como $N \to \infty$ El número de FM será inferior a $\pi(N)\frac{1}{2}\frac{3}{4}$ .
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Si seguimos así, lo conseguiremos: $$\lim_{N \to \infty}\pi_{\text{FermatPrimes}}(N)=\lim_{N \to \infty} \pi(N)\prod_{p>2}\frac{p-2}{p-1}=K \lim_{N \to \infty} \frac{\pi(N)}{\log{(N)}}$$
Que diverge claramente.
¿Es cierto?
