Por qué $(\alpha-1)^{-1}\le u^2$ donde $u$ es una unidad fundamental en $\mathbb{Z}[\alpha]$ y $\alpha=2^{1/3}$ ?

Question

Dado $\alpha = 2^{1/3},$ Quiero demostrar que $\beta = (\alpha-1)^{-1}$ es una unidad en $\mathbb{Z}[\alpha]$ y está comprendido entre 1 y $u^2$ donde $u$ es una unidad fundamental en $\mathbb{Z}[\alpha]$ . Ya veo por qué es una unidad y por qué 1 es un límite inferior de $\beta$ pero no veo cómo conseguir $\beta \le u^2$ . Agradecería cualquier ayuda.

Answer 1

Supongo que aún no sabes que $1 + \alpha + \alpha^2 = \beta$ es la unidad fundamental de ${\mathbb Z}[\alpha]$ pero que estás ocupado estableciendo esto.

Presumiblemente, tienes algún teorema que da una estimación sobre el valor absoluto de la unidad fundamental. Por ejemplo

Teorema (Desigualdad de Artin). Sea $K$ sea un campo cúbico real y sea $v \in {\mathcal O}_K^*$ con $v > 1$ . Entonces $|\text{disc}(K)| \leq 4v^3 + 24$ .

En su caso, aplicando esto a $K = {\mathbb Q}(\alpha)$ y la unidad fundamental $u$ de ${\mathbb Z}[\alpha]$ da $108 \leq 4 u^3 + 24$ Así que $u^2 \geq (\sqrt[3]{21})^2 \approx 7.61$ . Ahora $\beta \approx 3.85$ Así que $1 < \beta < u^2$ .