Digamos que un subconjunto $C$ de un espacio de Banach $X$ es $\sigma$ -convexo si se cumple la siguiente propiedad:
Para cualquier secuencia $(x_k)_{k\ge0}$ en $C$ , cualquier secuencia de números reales no negativos $(\lambda_k)_ {k\ge0}$ w $\sum_{k=0}^\infty \lambda_k=1$ el serie $\sum_{k=0}^\infty \lambda_k x_k$ converge a un elemento de $C$ .
(el término $\sigma$ -convexo parece bastante natural para esta propiedad, y de hecho se utiliza, por ejemplo, en este 1976 papel aunque no estoy seguro de que esta sea la terminología estándar actual).
Evidentemente, cualquier $\sigma$ -un conjunto convexo es convexo y acotado; un conjunto convexo acotado no tiene por qué serlo. $\sigma$ -convexo (por ejemplo, el casco convexo $\Delta$ de la base ortonormal de $\ell^2$ ). A cerrado conjunto convexo acotado es $\sigma$ -convexo; y un abra conjunto convexo acotado es $\sigma$ -convexo, también. Además, la intersección de $\sigma$ -conjuntos convexos es $\sigma$ -y la imagen de a $\sigma$ -mediante un operador lineal acotado es $\sigma$ -convexo.
Pregunta: ¿existe una topología caracterización topológica de esas convexos de un espacio de Banach que son $\sigma$ -¿Convexo?
Dados los hechos mencionados, una conjetura razonable podría ser, que un conjunto convexo acotado es $\sigma$ -si y sólo si es un espacio de Baire. [ editar ] un contraejemplo sencillo en $X:=\mathbb{R}\times \ell^2 $ es $C:=(0,1]\times B\, \cup\, \{0\}\times\Delta$ donde $B$ es la bola unitaria abierta de $\ell^2$ y $\Delta$ es el no $\sigma$ -convexo descrito anteriormente. Este conjunto es acotado, convexo y Baire, aunque no es $\sigma$ -convexo.
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[ editar ] Por lo que veo, la característica interesante de $\sigma$ -conjuntos convexos es el siguiente "lema de iteración" (es un fragmento del Teorema del Mapa Abierto, que en mi opinión merece ser un lema en sí mismo, también porque su demostración se repite en varios teoremas).
Lema. Sea $X$ sea un espacio de Banach; $C\subset X$ $\sigma$ -convexo; $B\subset X$ a subconjunto acotado, $0 < t < 1$ ser tal que $$B\subset C + tB \, . $$ T $$(1-t)B\subset C \, .$$
( prueba como en la OMT: a partir de $b_0\in B$ represéntelo como $b_0=c_0+tb_1$ e iterar; se obtiene $(1-t)b_0$ como suma de una combinación convexa infinita en $C$ ). Curiosamente, esto es también una caracterización, en el sentido de que cualquier conjunto acotado $C$ para el que se cumple la propiedad anterior para cualquier conjunto acotado $B$ (e incluso sólo para un $0 < t < 1$ ) es efectivamente $\sigma$ -convexo.
