Como menciona Rbega la pregunta debería modificarse para preguntar si es cierto que un colector cerrado $M$ sin puntos conjugados admite una métrica de no positivo (en lugar de negativa) (de lo contrario, un toroide es un contraejemplo obvio). En esta forma, se trata de un problema abierto bien conocido. El mapa exponencial en cualquier punto es un recubrimiento universal de $M$ y las geodésicas en $\tilde M$ son únicos. Esto demuestra que $M$ es asférica, pero eso está muy lejos de admitir una métrica de curvatura no positiva.
Existen algunos resultados parciales que sugieren que los grupos fundamentales de las variedades sin puntos conjugados comparten algunas propiedades de los grupos fundamentales de las variedades con curvatura no positiva. En particular, existe una resultado de Croke y Shroeder que si la métrica es analítica entonces cualquier subgrupo abeliano de $\pi_1(M)$ se incrusta cuasi-isométricamente. La siguiente observación de Bruce Kleiner permite eliminar la condición de analiticidad: Croke y Schroeder demuestran que incluso sin suponer analiticidad para cualquier $\gamma\in\pi_1(M)$ su desplazamiento mínimo $d_\gamma$ satisface $d_{\gamma^n}=nd_\gamma$ para cualquier $n\ge1$ . Esto implica que $d_\gamma=\lim_{n\to\infty} d(\gamma^nx,x)/n$ para cualquier $x\in\tilde M$ . Esto implica a su vez que la restricción de $d$ a un subgrupo abeliano $H \simeq \mathbb Z^n$ se extiende a una norma sobre $\mathbb R^n$ . Esto implica que $H$ está cuasi-isométricamente incrustada.
Este resultado implica, por ejemplo, que las nilmanifolds no planas no pueden admitir métricas sin puntos conjugados y, más en general, que todo subgrupo soluble del grupo fundamental de una manifold sin puntos conjugados es virtualmente abeliano.
Pero es improbable que ninguna de esas variedades admita una métrica de curvatura no positiva. Es más probable que su grupo fundamental deba satisfacer alguna condición más débil como semihiperbolicidad pero incluso eso no está nada claro. Lo natural bicombing en $\tilde M$ dadas por geodésicas no tienen por qué satisfacer la propiedad del compañero de viaje (al menos no hay una razón clara de dónde debería venir).
Así que podría valer la pena tratar de buscar contraejemplos y el primer lugar donde yo buscaría es entre los grupos que son semi-hiperbólicos pero no $CAT(0)$ . En concreto, cualquier $CAT(0)$ tiene la propiedad de que los centralizadores de elementos que no son de torsión se dividen virtualmente. Esto no es necesario en un grupo semihiperbólico, y el ejemplo más sencillo es cualquier haz circular no trivial sobre superficies cerradas de género $>1$ . Para ser aún más específicos se puede tomar el haz tangente unitario $T^1(S_g)$ a una superficie hiperbólica. Obsérvese, sin embargo, que se sabe que una variedad homogénea cerrada sin puntos conjugados es plana, de modo que si existe una métrica sin puntos conjugados en $T^1(S_g)$ no puede ser homogénea. Edición: En realidad, esta última observación es irrelevante ya que $T^1(S_g)$ no puede admitir ninguna métrica homogénea en absoluto.
