Ferguson en su papel en 1980 estudió las propiedades de las matrices periódicas de Jacobi, que es la siguiente matriz
$$ A = \begin{bmatrix} a_1&b_1&0&0&0&0& \cdots & b_n\\ b_1&a_2&b_2&0&0&0&\cdots&0\\ 0&b_2&a_3&b_3&0&0&\cdots&0\\ 0&0&b_3&a_4&b_4&0&\cdots&0\\ 0&0&0&b_4&a_5&b_5&\cdots&0\\ 0&0&0&\ddots&\ddots&\ddots&\ddots&\vdots\\ 0&0&0&0&0&b_{n-2}&a_{n-1}&b_{n-1}\\ b_n&0&0&0&0&0&b_{n-1}&a_n \end{bmatrix} $$
Para un par propio dado $(\lambda, X)$ de $A$ donde $X = [x_1, \dots, x_n]$ tenemos
$$ b_{i-1}x_{i-1} + a_ix_i + b_ix_{i+1} = \lambda x_i, \text{ for } i=1, \cdots, n $$
tal que $b_0 = b_n, x_0=x_n, x_{n+1} = x_1$ . Resolvió este sistema de ecuaciones lineales para construir dicha matriz. De hecho, se trata de un problema de valores propios inversos, que consiste en construir una matriz de una forma específica a partir de datos espectrales.
Hay algo que no puedo entender es esta declaración
Por analogía con la teoría de Floquet, que analiza el problema análogo para las ecuaciones diferenciales ordinarias, consideremos las soluciones no triviales de esta relación de recurrencia que satisfacen los límitesa $$ z_n = \rho z_0, z_{n+1} = \rho z_1 $$ En este caso, el parámetro $\rho$ se denomina multiplicador de Floquet de la solución $x$ . Para $\rho \neq 0$ existe una solución no trivial si y sólo si $\lambda$ es un valor propio de la matriz $$ L = \begin{bmatrix} a_1&b_1&0&0&0&0& \cdots & \dfrac{1}{\rho} b_n\\ b_1&a_2&b_2&0&0&0&\cdots&0\\ 0&b_2&a_3&b_3&0&0&\cdots&0\\ 0&0&b_3&a_4&b_4&0&\cdots&0\\ 0&0&0&b_4&a_5&b_5&\cdots&0\\ 0&0&0&\ddots&\ddots&\ddots&\ddots&\vdots\\ 0&0&0&0&0&b_{n-2}&a_{n-1}&b_{n-1}\\ \rho b_n&0&0&0&0&0&b_{n-1}&a_n \end{bmatrix} $$
¿Cómo aplicó la teoría de Floquet a este problema? Aquí no hay función, derivada ni ecuaciones diferenciales, es sólo un sistema de ecuaciones lineales periódicas.
Gracias de antemano
