Bases de Hamel para $\mathbb{R}$ en $\mathbb{Q}$ no puede ser cerrado bajo la multiplicación escalar por $a \ne 0,1$

Question

El siguiente es el problema 206 del libro de Golan Álgebra lineal que debe conocer un estudiante de posgrado principiante . No he podido hacer ningún progreso.

Definición: Una base de Hamel es una base (necesariamente de dimensión infinita) para $\mathbb{R}$ como un espacio vectorial sobre $\mathbb{Q}$ .

El problema: Dejemos que $B$ sea una base de Hamel para $\mathbb{R}$ como un espacio vectorial sobre $\mathbb{Q}$ y fijar algún elemento $a\in\mathbb{R}$ con $a\neq 0,1$ . Demostrar que existe algún $y\in B$ con $ay\notin B$ .

Answer 1

Aquí está la prueba del ejercicio:

Dejemos que $B$ ser una base de Hamel. Entonces cualquier número real $r$ puede escribirse de forma única como $\Sigma_{x \in B} {r_x}x$ donde el $r_x$ son números racionales de los que sólo un número finito es distinto de cero. La función $\alpha : r \to \Sigma_{x \in B} r_x$ es una transformación lineal de espacios vectoriales sobre los números racionales. Supongamos ahora que $a \ne 1$ y $ax \in B$ para todos $x \in B$ . Entonces $\alpha(ar)=\alpha(r)$ para todos los números reales $r$ . En particular, si $x \in B$ y si $r = x(a-1)^{-1}$ entonces $1 = \alpha(x) = \alpha([a-1]r) = \alpha(ar) - \alpha(r) = 0$ . ¡Contradicción!

Answer 2

Completamente revisado: Dejemos que $f:\Bbb R\to\Bbb R:x\mapsto ax$ y supongamos que $f[B]\subseteq B$ . Desde $f[B]$ es una base para $\Bbb R$ Debemos tener $f[B]=B$ . En particular, $a^nb\in B$ para cada $b\in B$ y $n\in\Bbb Z$ y se deduce que $a$ debe ser trascendental.

Definir una relación $\sim$ en $B$ por $b_0\sim b_1$ si $b_1=a^nb_0$ para algunos $n\in\Bbb Z$ ; $\sim$ se ve fácilmente que es una relación de equivalencia. Sea $T\subseteq B$ contienen exactamente un representante de cada $\sim$ -clase de equivalencia. Fijar $t\in T$ ; hay $m\in\Bbb Z^+$ y para $k=1,\dots,m$ distinto $t_k\in T$ y los polinomios de Laurent $p_k$ con coeficientes racionales no nulos tales que

$$\frac{t}{a+1}=\sum_{k=1}^mp_k(a)t_k\;,$$

y por lo tanto $$t-\sum_{k=1}^m(a+1)p_k(a)t_k=0\;.$$

Pero esto implica que $m=1$ , $t_1=t$ y $(a+1)p_1(a)=1$ , haciendo que $a$ algebraica, lo cual es imposible. Por lo tanto, $f[B]\nsubseteq B$ .