Cosas que deberían ser números enteros positivos... ¿en serio?

Question

Kronecker. No hay más que decir. Incluso los propios números históricamente comenzaron como enteros positivos y posteriormente fueron generalizados al infierno y viceversa. He aquí otros conceptos bien conocidos que "deberían" implicar $\mathbb{N}$ pero se generalizaron a $\mathbb{Q}$ , $\mathbb{R}$ o incluso $\mathbb{C}$ :

1. Dimensión $\rightarrow$ Dimensión de Hausdorff.
2. Factorial $\rightarrow$ función gamma.
3. Diferenciación $\rightarrow$ semidiferenciación (etc.)

Entonces, ¿puedes ampliar esta pequeña a una gran lista?

(Motivación: Algún polinomio de nudo hipotético que calculé con exigía una dimensión de su representación de grupo asociada - de ahí la etiqueta "rt" - de 60/11. Eso noooo es un buen presagio para su existencia. :-)

Answer 1

En retorcerse es el invariante geométrico diferencial fundamental de una curva espacial cerrada. Creo que es la invariante topológica más útil fuera de las matemáticas: los biólogos la utilizan para estudiar las moléculas circulares de ADN, y los químicos en el estudio de polímeros largos. Para una curva espacial $C(t)$ se define como el doble integral
$\frac{1}{4\pi}\int_{C\times C}\frac{C^\prime(s)\times C^\prime(t)\cdot (C(s)-C(t))}{|C(s)-C(t)|^3}ds dt.$

pero la mayoría de la gente piensa que es el número de cruces positivos menos el número de cruces negativos. Esta cantidad es naturalmente un número entero. La fórmula de la integral se basa en la integral de Gauss para el número de enlace, pero tiene una historia complicada, con mucha contribución de no matemáticos.

Pero, qué le vamos a hacer, la mayoría de las moléculas largas de la vida real no son curvas de espacio cerrado. Así que biólogos, químicos y físicos, seguidos de matemáticos, generalizaron el writhe a curvas de espacio abierto. La idea es que el writhe tiene sentido para un diagrama de maraña, así que lo integraron sobre todos los ángulos de proyección de la curva de espacio abierto. El resultado es una definición para el writhe de una curva de espacio abierto, que es un número real (que puede estimarse eficientemente). Creo que es el número real más útil de la geometría diferencial para estudiar las curvas de espacio abierto donde ocurren en biología, química y física.

Un buen estudio de writhe en varios contextos es el de Berger y Prior El retorcimiento de las curvas del espacio abierto y cerrado .

Answer 2

La extensión natural de la característica de Euler a los orbifolds se valora en Q.

Answer 3

Integración motivacional, en la que las medidas subyacentes se valoran en anillos de motivos.

Answer 4

Una generalización natural de la cardinalidad de los conjuntos es la cardinalidad del agrupoide, que es un número real.

Answer 5

Es interesante observar que esto ha ocurrido con varias nociones de "dimensión". La dimensión de Krull de los anillos se ha extendido a nociones como la dimensión GK, por ejemplo.

Como respuesta complementaria... ¿cuál sería un anillo de característica $-\pi$ ?