Uniones contables y el axioma de elección contable

Question

Denotemos por ACC el axioma de elección contable, es decir, la afirmación de que el producto de contablemente muchos conjuntos no vacíos es no vacío, y denotamos por UCC la afirmación de que una unión contable de conjuntos contables es contable.

UCC es un teorema simple de ZF+ACC.

Prueba Supongamos que para cada $i\in\omega$ tenemos $X_i$ un conjunto contable, y $X_i\cap X_j=\varnothing$ para $j\neq i$ .

Desde $X_i$ es contable $O_i=\{f\colon X_i\to\omega\mid f\ \text{ injective}\}$ no es vacío. Podemos elegir $f_i\in O_i$ por el axioma de elección contable, y definir: $$F\colon\bigcup X_i\to \omega\times\omega\colon\qquad x\mapsto\langle n,f_n(x)\rangle$$ Dónde $n$ es el único $n\in\omega$ tal que $x\in X_n$ .

La función de emparejamiento de Cantor muestra que $\omega\times\omega$ es contable y hemos terminado.

---

¿Es cierta la afirmación contraria, es decir, ZF+UCC implica ACC? Si la respuesta es negativa, ¿implica eso al menos alguna otra forma más débil de elección?

• Como señala Emil Jerábek más adelante, UCC implica el axioma de elección contable para conjuntos contables (este último abreviado como CCF).

• Buscando en el documento mencionado por godeliano en los comentarios, llegué a [1] en el que Howard construye un modelo de ZFA en el que CCF se mantiene y UCC no, y por el teorema de transferencia de Pincus construye esto sobre ZF. Por lo tanto tenemos: $$\text{ACC}\Rightarrow\text{UCC}\Rightarrow\text{CCF}$$ La primera implicación es irreversible en ZFA, por el comentario de godelian, y la segunda irreversible en ZF por [1]. Ambos trabajos tienen dos décadas, ¿se conoce algún avance?

Bibliografía:

1. Howard, P. El axioma de elección para colecciones contables de conjuntos contables no implica el teorema de la unión contable. Notre Dame J. Formal Logic Volumen 33, Número 2 (1992), 236-243.

Answer 1

La implicación $ACC \implies UCC$ es irreversible en $ZF$ . Esto se deduce de nuevo del teorema de transferencia de Pincus:

1. $UCC$ es un enunciado inyectivamente acotado, véase la nota 103 en "Consecuencias del axioma de elección" de Howard & Rubin. Justo después del teorema de las pp. 285 y su corolario, hay ejemplos de enunciados de este tipo, uno de los cuales es la forma 31 (que es precisamente $UCC$ ). El hecho de que esto sea así se deduce a su vez de la aplicación del lema 3.5 en Howard, P.-Solski, J.: "La fuerza de la $\Delta$ -system lemma", Notre Dame J. Formal Logic vol 34, pp. 100-106 - 1993

2. Se sabe que $¬ACC$ es acotado y, por tanto, acotado inyectivamente.

Entonces podemos aplicar el teorema de transferencia de Pincus a la conjunción $UCC \wedge ¬ACC$ y hemos terminado.

SEGUNDA PRUEBA: Hojeando el libro "Consecuencias..." acabo de encontrar otra prueba menos directa del mismo hecho. La añado aquí para evitar que el interesado la busque por sí mismo (sobre todo porque el Sitio web de AC no funciona estos días). Se trata del formulario 9, conocido como $W_{\aleph_0}$ un conjunto es finito si y sólo si es Dedekind finito. Ahora bien, $ACC \implies W_{\aleph_0}$ es demostrable en $ZF$ (de hecho esto ya fue demostrado por Dedekind), mientras que $UCC$ no implica $W_{\aleph_0}$ . Esto último se deduce del hecho de que en el modelo básico de Fraenkel, $\mathcal{N}1$ , $UCC$ es válido mientras $W_{\aleph_0}$ no lo es, y tal resultado es trasladable por consideraciones de Pincus que pueden encontrarse en Pincus, D.: "Zermelo-Fraenkel consistency results by Fraenkel Mostowski methods", J. of Symbolic Logic vol 37, pp. 721-743 - 1972 (doi: 10.2307/2272420 )