Parece que hay dos definiciones de la suma directa de espacios vectoriales

Question

He visto dos definiciones de la suma directa de espacios vectoriales:

1. Si $U$ y $V$ son espacios vectoriales, entonces

$$U \oplus V = \{(u,v):u\in U,v \in V\}.$$

2. Si $V_1$ y $V_2$ son subespacios de $V$ y $V_1 \cap V_2 = \{0\}$ entonces

$$V_1 \oplus V_2 = \{u+v:u\in V_1,v \in V_2 \}$$

Así que esencialmente, si yo fuera a tomar la suma directa de los espacios vectoriales $V_1$ y $V_2$ formado por vectores de la forma $(a,b,0,0)$ y $(0,0,c,d)$ respectivamente, sería como un espacio con vectores de la forma

$$(a,b,0,0,0,0,c,d)$$

según la definición 1, o

$$(a,b,c,d)$$

según la definición 2?

Answer 1

Las dos nociones son las mismas (hasta isomorfismo) para los espacios vectoriales cuya intersección es $\{0\}$ . Supongamos que $U$ y $V$ son espacios vectoriales tales que $U \cap V = \{0\}$ . Me referiré a su suma directa externa $(1)$ como $U\times V$ y su suma directa interna $(2)$ como $U \oplus V$ .

Como se menciona en los comentarios $U \times V \cong U \oplus V$ y el isomorfismo es la elección natural. Lo único que requiere un poco de reflexión es notar dónde la condición $U\cap V = \{0\}$ entra. El isomorfismo es el siguiente:

$$\begin{align} \phi : U \times V &\to U \oplus V \\ (u,v) &\mapsto u + v \end{align}$$

Es sencillo comprobar que se trata de un homomorfismo de espacios vectoriales (un mapa lineal). Además, hay que comprobar que es biyectivo. Es evidente que $\phi$ es suryectiva. Para ver que es inyectiva, observe que $\ker(\phi) = \{(u,v)\mid u + v = 0\}$ . Pero $u + v = 0 \implies u = -v$ . Esto significa que $-v \in U$ y puesto que $U$ es un espacio vectorial esto implica $v \in U$ . Por la hipótesis $U \cap V = \{0\}$ tenemos que $v = u = 0$ . Así que $\ker(\phi) = \{0\}$ demostrando que $\phi$ es inyectiva.