Demostración del teorema de Alaoglu

Question

Estaba leyendo la demostración del teorema de Alaoglu que dice

Sea $X$ sea un espacio normado Entonces la bola unitaria en $X^*=B^*$ es compacta con respecto al $weak^*$ topología.

La prueba es la siguiente.

Primero defina $D_x = \{z \in \mathbb C : |z|\leq ||x|| \}$ A continuación, construimos $$\tau : B^* \rightarrow \Pi_x D_x$$ $$ f \mapsto (f(x))_x$$

El rango es compacto por el teorema de Tychonoff y el mapa definido anteriormente es una inyección continua. Después de esto la identidad $B^*$ con un subespacio de $ \Pi_x D_x$ diciendo el mapa inverso de la imagen a $B^*$ es continua. Me costaba ver este hecho ya que lo enunciaban de forma poco precisa. También hay que tener en cuenta que hay que utilizar el hecho de que es $weak^*$ topología en esta etapa ya que el resultado es falso para la topología fuerte.

Así es como intenté mostrarlo. Mostraré que el mapa es un mapa cerrado. Que $Z\subset B^*$ es $weak^*$ cerrado . Entonces miro su imagen. Supongamos que obtengo una red convergente $ \tau ( f_i) \rightarrow \alpha$ con $f_i \in Z$ Entonces tenemos $$ f_i(x) \rightarrow \alpha_x\ \forall x\in X$$

y, por tanto, por UBP $\exists f\in B^* $ tal que $f(x)=\alpha_x$ .

Esto demuestra que $f_i(x) \rightarrow f(x) \ \forall x$ y por lo tanto $f_i \rightarrow f$ en $weak^*$ topología. Así, $f \in Z$ y, por tanto, la imagen de $Z$ está cerrado. Por lo tanto, tenemos $f$ es un homeomorfismo sobre su imagen y $f(B^*)$ siendo cerrada es compacta. Así que $B^*$ es $weak^*$ compacto.

Por favor, señale si hay alguna laguna en el argumento anterior.

Answer 1

De su prueba no queda del todo claro por qué $f$ existe y es un elemento de $B^*$ .

En efecto, defina $f : X \to \mathbb{C}$ por $f(x) = \alpha_x$ . Tenemos que $f$ es lineal:

$$f(\lambda x + \mu y) = \lim_{i} f_i(\lambda x + \mu y) = \lambda \lim_i f_i(x) + \mu \lim_i f_i(y) = \lambda \alpha_x + \mu\alpha_y = \lambda f(x) + \mu f(y)$$

También para cada $x \in X$ tenemos $f(x) = \alpha_x \in D_x$ así que $\|f(x)\| \le \|x\|$ así que $f$ está acotado y $\|f\| \le 1$ .

Por lo tanto $f \in B^*$ . Por construcción para cada $x \in X$ tenemos $f_i(x) \to \alpha_x = f(x)$ así que $f_i \to f$ en los débiles $^*$ topología. Dado que $Z$ débil $^*$ cerrado, se deduce $f \in Z$ y luego $(\alpha_x)_{x \in X} = \tau(f) \in \tau(Z)$ .

Concluimos que $\tau(Z)$ está cerrado.

Answer 2

Para cualquier $x\in X$ , dejemos que \begin{equation} D_{x}=\lbrace z\in ℂ:\vert z\vert‎\leqslant‎\Vert x\Vert \rbrace\\ \end{equation}

y $D=\prod_ {x\in X} ⁢D_{x}$ . Desde $D_{x}$ es un subconjunto compacto de ℂ, D es compacto en topología de producto por el teorema de Tychonoff.

Demostramos el teorema encontrando un homeomorfismo que mapea la bola unitaria cerrada $ B_{{X^\ast}} $ de $X^{*}$ sobre un subconjunto cerrado de D. Definir \begin{equation} \varphi_{x}:B_{X^{\ast}} \longrightarrow‎‎ D_{x} , \varphi x⁢(f)=f⁢(x) , \varphi:B_{X^{\ast}}\longrightarrow D\\ \end{equation} por \begin{equation} \varphi=\prod_{x\in X⁢} \varphi{x}, \end{equation} para que \begin{equation} \varphi⁢\left(f \right)=\left(f⁢(x)\right) x\in X.\\ \end{equation} Obviamente, $\varphi $ es uno a uno, y una red $\left(f_{α}\right)\in B_{X^{*}}$ converge a f en débil $^{*}$ topología de $X^{*}$ si $\varphi \left(f_{α}\right)$ converge a $\varphi⁢(f)$ en la topología del producto, por lo tanto $ \varphi $ es continua y también lo es su inversa \begin{equation} \varphi^{-1}:\varphi\left(B_{X^{*}}\right) \longrightarrow B_{X^{*}}\\ \end{equation} I $\varphi \left(B_{X*}\right)$ está cerrado. Si \begin{equation} \varphi \left(f_{α}\right) \end{equation} es una red en $\varphi \left(B_{X*}\right)$ convergiendo a un punto $ d=(d_{x}) $ , $ x\in X\in D$ podemos definir una función \begin{equation} f: X \longrightarrow C , f⁢(x)=d_{x}.\\ \end{equation} En $\lim_{α}\varphi⁢\left(f{α⁢(x)}\right)=d_{x}$ para todos $ x\in X$ por definición de débil $^{*}$ convergencia, se puede ver fácilmente que f es un funcional lineal en $ B_{X*}$ y que $\varphi(f)=d$ . Esto demuestra que d está realmente en $\varphi(B_{X^{*}})$ y termina la prueba.