Demuestre que $f : \mathbb{R}^n \setminus \{0\} \to \mathbb{R}^n$ definido por $f(x) = \frac{x}{|x|}$ es continua y la imagen es una esfera

Question

Demuestre que $f : \mathbb{R}^n \setminus \{0\} \to \mathbb{R}^n$ definido por $f(x) = \frac{x}{|x|}$ es continua y que $f\left[\mathbb{R}^n \setminus \{0\}\right] = \mathbb{S}^{n-1}$

Conseguí demostrar que $f\left[\mathbb{R}^n \setminus \{0\}\right] = \mathbb{S}^{n-1}$

Mi prueba: Elige $\alpha \in f\left[\mathbb{R}^n \setminus \{0\}\right]$ El $\alpha = f(x)$ para algunos $x \in \mathbb{R}^n$ . Arreglar esto $x \in \mathbb{R}^n$ entonces $\alpha = \frac{x}{|x|}$ para este $x$ . Ahora $$d(0, \alpha) = |\alpha| = \left|\frac{x}{|x|}\right| = \frac{|x|}{||x||} = \frac{|x|}{|x|} = 1$$ de ahí $\alpha \in \mathbb{S}^{n-1} = \{y \in \mathbb{R}^n \ | \ d(0, y)=1 \}$ . Así $f\left[\mathbb{R}^n \setminus \{0\}\right] \subseteq \mathbb{S}^{n-1}$ . A la inversa, elija $\beta \in \mathbb{S}^{n-1}$ entonces $d(0, \beta) = 1$ y hene $|\beta| = 1$ . Tenemos que demostrar que $\beta = f(x)$ para algunos $x \in \mathbb{R}^n$ . Desde $\mathbb{S}^{n-1} \subseteq \mathbb{R}^n$ tenemos que $\beta \in \mathbb{R}^n$ de ahí $f(\beta) = \frac{\beta}{|\beta|} = \frac{\beta}{1} = \beta$ . Así $\beta \in f\left[\mathbb{R}^n \setminus \{0\}\right]$ y por lo tanto $\mathbb{S}^{n-1} \subseteq f\left[\mathbb{R}^n \setminus \{0\}\right]$ por lo que finalmente podemos concluir que $f\left[\mathbb{R}^n \setminus \{0\}\right] = \mathbb{S}^{n-1}$ como desee. $\square$

---

Para demostrar que $f$ es continua sin embargo me está resultando un poco más difícil. No quiero mostrar que $f$ es continua utilizando directamente la definición de continuidad para espacios métricos, ya que estoy seguro de que hay maneras más fáciles de demostrar que $f$ es continua.

Por ejemplo, sé que la composición de funciones continuas es continua (lo que se cumple en cualquier espacio topológico). También sé que $g : \mathbb{R}^n \setminus \{0\} \to \mathbb{R}^n$ definido por $g(x) = x$ es continua y $h : \mathbb{R}^n \setminus \{0\} \to \mathbb{R}^n$ definido por $h(x) = |x| = d(0, x)$ es continua (donde $d$ es la métrica estándar en $\mathbb{R}^n$ ). A partir de estos dos hechos, ¿cuál es la forma más sencilla de demostrar que $f$ que ahora podemos definir como $f(x) = \frac{g(x)}{h(x)}$ ¿es continua?

Por último, ¿es correcta mi prueba anterior? (Nótese que $d$ es la métrica estándar en $\mathbb{R}^n$ )

Answer 1

En cuanto a la prueba de continuidad, se puede observar el hecho de que la aplicación $$\begin{array}{l|rcl} \phi_4 : & \mathbb R \times \mathbb R^n & \longrightarrow & \mathbb R^n\\ & (\lambda,x) & \longmapsto & \lambda x \end{array}$$

es bilineal en espacios de dimensión finita y, por tanto, continua. Una forma más elemental es observar que todas las funciones de coordenadas son continuas.

La solicitud $\phi_1 : x \mapsto \vert x \vert^2$ es polinómica y, por tanto, continua. $\phi_2 : x \mapsto \sqrt{x}$ es un mapa continuo (definido en $\mathbb R_+$ ). Y $\phi_3 : x \mapsto 1/x$ también es continua para $x \neq 0$ .

Ahora tiene que escribir $f$ como una composición de funciones de todas esas bonitas funciones, a saber: $$f(x)=\phi_4((\phi_3\circ \phi_2 \circ \phi_1)(x),x)$$