¿Cómo resolver esta prueba límite?

Question

No entiendo cómo resolver esto, que forma parte de una prueba límite: $-\epsilon<-3x^2+3<\epsilon$ el resultado es extremadamente complicado porque analicé un lado de la desigualdad a la vez y no puedo unificar los resultados porque parecen incompatibles. Creo que no es necesario añadir mis cálculos, son largos, complicados y probablemente no tengan ningún sentido... así que, ¡espero en vuestra amabilidad y conocimientos encontrar la forma de resolver este misterio! Gracias de antemano.

Answer 1

Si la pregunta es cómo resolver esa desigualdad para $x$ Aquí están los pasos:

$$-\epsilon/3 < 1-x^2 < \epsilon /3$$

$$\iff -\epsilon/3 - 1< -x^2 < \epsilon /3 - 1$$

$$\iff 1 + \epsilon/3 > x^2 > 1 - \epsilon /3$$

$$\iff \sqrt{1 + \epsilon/3} > |x| > \sqrt{1 - \epsilon /3}$$

(Suponiendo $\epsilon \le 3$ .)