Ordenó geometrías de convexa subconjuntos del plano

Question

La motivación

En el Klein modelo de disco del plano hiperbólico, los puntos se encuentran en el interior del disco, y las líneas en $H^2$ corresponden a líneas que se intersecan en el interior.

Del mismo modo, el plano Euclidiano puede ser modelado por el interior de un hemisferio de $S^2$ (o $\mathbb {RP}^2$ menos de una línea) para que las líneas en $\mathbb R^2$ son las intersecciones de geodesics de la esfera con el hemisferio.

En ambos casos, los ángulos no se conservan, pero el orden de los puntos en las líneas se conservan.

Definiciones

Para cualquier conjunto convexo en $\mathbb R^2$, considerar el vacío intersecciones de las líneas con el conjunto de líneas en una ordenó la geometría con la inducida pedido de $\mathbb R^2$. Dos de estas geometrías son equivalentes si existe un bijection entre ellos la preservación de las líneas y el orden en cada línea.

1. Que convexo abierto conjuntos de producir geometrías equivalente a $H^2$?

2. Que pares de convexo abierto conjuntos producir equivalente geometrías?

Cualquiera de las dos líneas-segmento de la preservación de los mapas son muy flexibles, o de lo contrario debe haber formas de recuperar gran parte de la información acerca de los conjuntos convexos de su incidencia geometrías.

Algunos resultados débiles

Se pueden distinguir en el interior de un triángulo de $H^2$ (o cualquier otro convexo acotado conjunto abierto) a través de la incidencia de las relaciones. En el triángulo, hay tres líneas, tales que cada línea se cruza con al menos uno de los tres. Cualquiera de las tres líneas a través de los vértices de trabajo. En $H^2$, siempre se puede encontrar una línea de disjunta de cualquier colección finita de líneas.

Del mismo modo, si un segmento de línea que hace parte de la frontera de un conjunto en el plano, entonces la incidencia de la geometría no es $H^2$.

La incidencia de la relación de más de pedido es suficiente para la construcción ideal de los puntos de la frontera del conjunto. Estos corresponden a la máxima conjuntos de rayos, de modo que para cualquiera de los dos disjuntas rayos $R_1$ $R_2$ en el conjunto, el conjunto de puntos de $p$, de modo que para algunos $x_1 \in R_1$ y $x_2 \in R_2$, $p$ se entre $x_1$$x_2$, es un triángulo subgeometry.

Answer 1

Conjuntos convexos dar el mismo geometrías si y sólo si, se projectively equivalente. En particular, es sólo cónicas que dan a $H^2$.

Es más natural para el trabajo en el plano proyectivo $P^2(\mathbb{R})$. A continuación, se define un conjunto para ser convexa si su intersección con cualquier línea está vacía o conectado. Estamos dados dos conjuntos convexos $C_1$ $C_2$ en el avión con un bijection $\phi:C_1\to C_2$ cual es el fin de preservar en el sentido de que $a$ $b$ separa $c$ $d$ (en algunos proyectiva línea) si y sólo si $\phi(a)$ $\phi(b)$ separa $\phi(c)$ $\phi(d)$ (en algunos proyectiva de la línea).

Nos gustaría demostrar que $\phi$ es una transformación proyectiva.

El siguiente intento se utiliza el teorema de Desargues , junto con el teorema fundamental de la geometría proyectiva.

La reclamación. $\phi$ puede ser extendido a la totalidad de la $P^2(\mathbb{R})$ de manera tal que las líneas se asignan a las líneas.

Considere la posibilidad de cualquier punto de $x\notin C_1$. Podemos localizar $\phi(x)$ utilizando el Teorema de Desargues de la siguiente manera. Elija tres líneas a través de las $x$ que se cruzan $C_1$ en tres conjuntos conectados $c_1$, $c_2$, $c_3$. Elegir los puntos de $a_i$ $b_i$ sobre acordes $c_i$. Entonces los triángulos $\triangle a_1 a_2 a_3$ $\triangle b_1 b_2 b_3$ están en perspectiva, de modo que por el teorema de Desargues, los puntos de intersección $p_{ij}$ de las líneas de $a_i a_j$ $b_i b_j$ son colineales. Esto puede ser hecho de tal manera que el $p_{ij}$ son todos en $C_1$. Por ejemplo, el $c_i$ tiene que ser elegido suficientemente cerca, y cada triángulo tiene que ser elegido de manera que sus puntos son "casi colineales", con las dos líneas de colinealidad de intersección dentro de $C_1$.

Entonces esta es la foto de los triángulos en perspectiva, sin el punto de $x$, pueden ser transferidos a $C_2$$\phi$. Todas las incidencias se conserva, por lo que por el recíproco del teorema de Desargues, los tres conjuntos conectados $\phi(c_i)$ mentira en rectas concurrentes. Definir $\phi(x)$ a ser el punto de concurrencia. Es fácil ver que la definición es independiente de que a través de los acordes $x$ se utilizan.

Estamos halway allí. Queda por demostrar que la extendida $\phi$ preserva de la colinealidad.

Así que vamos a $x,y,z$ ser colineales en $\mathbb{R}^2$. Nos gustaría mostrar que $\phi(x), \phi(y), \phi(z)$ son colineales.

Si al menos dos de $x,y,z$$C_1$, está claro que las imágenes también deben ser colineales. Así que suponer sin pérdida de generalidad que $y,z\notin C_1$.

El caso de $x\in C_1$ es simple: el acorde de $C_1$ a través de $x,y,z$ mapas para el acorde de $C_2$ a través de$\phi(x)$$\phi(y)$, y también a la cuerda a través de$\phi(x)$$\phi(z)$. Por lo tanto $\phi(x),\phi(y),\phi(z)$ son colineales.

Si, por otro lado, $x\notin C_1$, volvemos a usar el teorema de Desargues. Encontrar triángulos dentro de $C_1$ de manera tal que los puntos en los que sus lados correspondientes se cruzan, se encuentran en la línea a través de $x,y,z$. (Como antes, es fácil ver que esto es posible.) Por el contrario de Desargues, los triángulos están en perspectiva. La transferencia de esta imagen con la $\phi$ a que el avión en el que $C_2$ vidas. Volvemos a obtener dos triángulos en perspectiva, y por Desargues, $\phi(x)$, $\phi(y)$, $\phi(z)$ son colineales.

Hemos demostrado que las líneas se asignan a las líneas. Por (un caso muy especial de) el teorema fundamental de la geometría proyectiva, $\phi$ es una transformación proyectiva.