Sea $a$ sea un elemento de orden $n$ en un grupo $G$ . Si $m$ y $n$ son relativamente primos, entonces $a^m$ tiene orden $n$ .

Question

Sea $a$ sea un elemento de orden $n$ en un grupo $G$ .

Si $m$ y $n$ son relativamente primos, entonces $a^m$ tiene orden $n$ .

Supongamos que $m$ y $n$ son relativamente primos, y que $a^m$ no tiene orden $n$ . Digamos que tiene orden $k$ de modo que $(a^m)^k=e$ .

Dado que el orden de $a$ es $n$ , $$e=a^n=(a^m)^k$$

Así que.., $mk \equiv 0 \pmod n$ y, por lo tanto $n \mid mk$

Desde $n$ es un factor de $mk$ y puesto que $n$ y $m$ son relativamente primos, $n$ debe ser un factor de $k$ sólo.

De la premisa de mi prueba, debería salir algún tipo de contradicción que implique: $m$ y $n$ no son relativamente primos; pero no puedo llegar a esto.

Answer 1

Pista: Usted tiene $n$ es un factor de $k$ . Entonces, $n \mid k \Rightarrow k \geq n$ . ¿Hay alguna contradicción?

Answer 2

Escriba a $b=a^m$ con orden $k$ .

Primera nota $b^n=a^{mn}=(a^n)^m=e$ Así que $k|n$ .

Por otro lado, $e=b^k=a^{mk}$ Así que $n|mk$ . Pero como $m,n$ son relativamente primos, tenemos $n|k$ .

Por lo tanto $k=n$

Answer 3

Esto es 10.G.1 de Pinter:

Si m y n son relativamente primos, entonces a^m tiene orden n .

(SUGERENCIA: Si a^(mk) = e utilice 10.T5 y explique por qué n m de k .)

Sugiere que usemos 10.T5:

Supongamos un elemento a en un grupo tiene orden n .

Entonces a^t = e si t es múltiplo de n (" t es múltiplo de n " significa que t = nq para algún número entero q ).

La prueba:

ord(a) = n                  (1)

gcd(m,n) = 1                (5)

(a^m)^n
(a^n)^m
e^m
e

Así:

(a^m)^n = e

Si n es el menor número tal que lo anterior es cierto, entonces n es el orden de a^m .

Comprobemos si existe una cifra inferior.

Supongamos que existe un número k tal que:

k < n                       (3)

(a^m)^k = e

Entonces tenemos:

a^(mk) = e                  (2)

Por 10.T5 con (1) y (2):

n | mk

Debido a (5), n no divide m . Así que debe dividir k :

n | k                   (4)

(4) contradice (3) por lo tanto no existe tal número k .

Por lo tanto n es el valor mínimo tal que:

(a^m)^n = e

Es decir

ord(a^m) = e