determinante de la tabla de caracteres

Question

Estoy seguro de que la respuesta a esta pregunta existe en alguna parte. Podría ser un ejercicio clásico.

Sea $G$ sea un grupo finito. Su tabla de caracteres es una matriz cuadrada, cuyas filas están indexadas por las clases de conjugación y las columnas por los caracteres irreducibles. Está bien definida, hasta el orden de filas y columnas. En particular, su determinante está bien definido hasta el signo. Definamos $\Delta$ sea el cuadrado de este determinante (está bien definido). Como los caracteres forman una base del espacio de funciones de clase, sabemos que $\Delta\ne0$ . En $G={\mathbb Z}/n{\mathbb Z}$ , $\Delta=n^n$ .

¿Existe una fórmula aproximada para $\Delta$ ¿para un grupo general? ¿Es siempre un número entero?

Answer 1

Si $A$ es la tabla de caracteres y $A^\ast$ es su transpuesto conjugado, entonces las relaciones de ortogonalidad nos dicen que $A A^\ast = \text{diag}\{|C_G(g)|\} $ donde los entes recorren una selección fija de elementos de $G$ uno de cada clase de conjugación. Así $|\Delta| = \det A A^\ast = \prod |C_G(g)|$ es un número entero. Por otro lado, $\Delta$ debe ser racional. Esto se deduce del hecho de que la acción de $\text{Gal}(\overline{\mathbb Q}/\mathbb Q)$ permuta las columnas de $A$ por lo que fija $\Delta = (\det A)^2$ . Así $\Delta=\pm |\Delta|$ es un número entero.

Answer 2

He encontrado la siguiente respuesta después de publicarlo: $$\Delta=\epsilon\prod_c\frac{|G|}{|c|},\qquad\epsilon=(-1)^m,$$ donde el producto se toma sobre la clase de conjugación. Y $m$ es el número de pares de caracteres irreducibles complejos conjugados.

Prueba . Por un lado, el conjugado complejo de la tabla es ella misma, hasta $m$ transposiciones de filas. Esto se debe a que el conjugado de un CI es un CI. Por lo tanto $$\overline{\det(TC)}=\epsilon\det(TC)$$ ( $TC$ significa ``tabla de caracteres''). Por lo tanto, $\det(TC)$ es real si $m$ es par, imaginario puro si $m$ es impar. por lo tanto $\Delta$ es real y su signo es $\epsilon$ .

Ahora los caracteres forman una base unitaria. Como una matriz unitaria tiene un determinante unitario, podemos calcular $|\Delta|$ tomando cualquier base unitaria. Tome $\phi_c(g)$ ser $0$ si $g\not\in c$ y $|G|^{1/2}/|c|^{1/2}$ si $g\in c$ . En particular $|\Delta|$ es un número entero porque $$\frac{|G|}{|c|}=|{\mathcal Z}(a)|,\qquad a\in c.$$

Otra prueba : Sea $D$ sea la matriz diagonal cuyas entradas diagonales son los cardinales de las clases de congugación. Podemos suponer que las primeras filas de $TC$ son los verdaderos personajes y los $2m$ Los últimos son los pares de caracteres complejos conjugados. Entonces $(i,j)$ -entrada de $M:=(TC)D(TC)^T$ es $|G|\langle\overline{\chi_i},\chi_j\rangle$ . A partir de las relaciones de ortogonalidad, vemos que $M={\rm diag}(1,\ldots,1,J,\ldots,J)$ donde $$J=\begin{pmatrix} 0 & 1 \\\\ 1 & 0 \end{pmatrix}.$$ El número de bloques $J$ es precisamente $m$ . Tomemos ahora el determinante; obtenemos $\Delta\det D=(-1)^m|G|^r$ donde $r\times r$ es el tamaño de $TC$ . De ahí la fórmula.

Answer 3

¿No se ha discutido esto ampliamente en el reciente artículo de Annals

Exposición elemental de la teoría de los caracteres de grupo y los determinantes de grupo de Frobenius Leonard Eugene Dickson (1902)?

El determinante del que habla el OP NO es el determinante de grupo propiamente dicho, sino que aparece poco después de la definición del determinante de grupo.

Answer 4

Versión corregida

Creo que siempre es un número entero. Podemos suponer que todas nuestras representaciones son sobre el cierre algebraico $\overline{\mathbb Q}$ de $\mathbb Q$ . Si $\Gamma$ es el grupo de Galois absoluto, entonces claramente $\Gamma$ actúa sobre los personajes de $G$ (si tiene una representación, gírela por la acción de $\Gamma$ ). De ello se deduce que el determinante al cuadrado está fijado por $\Gamma$ (ya que $\Gamma$ permuta las filas) y por tanto es un número racional. Pero también es un número entero algebraico, por lo que es un número entero.