Es $\min(f(x),\beta)$ ¿una función Lipschitz?

Question

Sea $\beta >0$ sea una constante y $f:\mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$ . Supongamos que $f(x)$ es $L$ -Lipschitz en el dominio: $X = \{x \vert f(x) \leq \beta\}$ es decir, $\vert f(x)-f(y) \vert \leq L \vert x-y\vert$ para todos $x,y \in X$ . Es $\min(f(x),\beta)$ una función Lipschitz en $\mathbb{R}^n$ ?

Answer 1

Sea $f(x)=x+2\times \Bbb 1_{\{x>0\}}$ y $\beta=1$ . Entonces $f$ es Lipschitz en $(-\infty,0]$ . Pero $\min\{f,1\}$ no lo es.