Considere la secuencia $a_n = \sqrt{n+\sqrt{n}}-\sqrt{n-\sqrt{n}}\\$ . Para determinar el límite hice lo siguiente: \begin{aligned} a_{n} &=\left(\sqrt{n+\sqrt{n}}-\sqrt{n-\sqrt{n}}\right) \frac{\sqrt{n+\sqrt{n}}+\sqrt{n-\sqrt{n}}}{\sqrt{n+\sqrt{n}}+\sqrt{n-\sqrt{n}}} \\[10pt] &=\frac{2 \sqrt{n}}{\sqrt{n+\sqrt{n}}+\sqrt{n-\sqrt{n}}}=\frac{2 \sqrt{n}}{\sqrt{n} \sqrt{1+\frac{1}{\sqrt{n}}}+\sqrt{n} \sqrt{1-\frac{1}{\sqrt{n}}}} \\[10pt] &=\frac{2}{\sqrt{1+\underbrace{\frac{1}{\sqrt{n}}}_{\rightarrow0 \text{ for }n \rightarrow \infty}}+\sqrt{1-\underbrace{\frac{1}{\sqrt{n}}}_{\rightarrow0 \text{ for }n \rightarrow \infty}}} \\[10pt] &= \dfrac{2}{2} = 1. \end{aligned}
Sin embargo, mi primer pensamiento fue $a_n = \sqrt{n+\sqrt{n}}-\sqrt{n-\sqrt{n}} = \sqrt{n}\left(\sqrt{1 + \dfrac{1}{\sqrt{n}}}\space - \sqrt{1 - \dfrac{1}{\sqrt{n}}}\right) = \sqrt{n}\space (1-1) = 0$
con el mismo argumento anterior. ¿Es correcto que no se puede hacer una afirmación sobre la convergencia en este último cálculo porque tenemos $\infty \cdot 0$ ? En caso afirmativo, ¿por qué exactamente?
Edita: Para ver que $\lim\limits_{n\to \infty} \dfrac{1}{\sqrt{n}} = 0$ elegir un arbitrario $\epsilon > 0$ . Queremos encontrar un $N$ s.t. $\forall n\geq N\colon |\dfrac{1}{\sqrt{n}} - 0|< \epsilon \Longleftrightarrow \dfrac{1}{\sqrt{n}} < \epsilon \Longleftrightarrow n >\dfrac{1}{\epsilon^2}$ lo que significa que podemos elegir $N = \dfrac{1}{\epsilon^2} + 1$ por ejemplo.
