Demostrar la continuidad de una integral

Question

Tengo la siguiente función:

$$I_n(a)=\int_{-\infty}^{\infty}x^6e^{-x^2}\operatorname{sech}^n(ax)dx$$

donde $\operatorname{sech}(x)=\frac{2}{e^x+e^{-x}}$ es la secante hiperbólica.

Está claro que la integral es una bestia para evaluar. Sin embargo, todo lo que necesito es demostrar la continuidad de $I_n(a)$ en $n=2,4,6$ no necesito la forma cerrada de $I_n(a)$ . En particular, me interesa la continuidad de $I_n(a)$ en las proximidades de $a$ en torno a cero, es decir $a\in[-\epsilon,\epsilon]$ para algún valor positivo pequeño $\epsilon$ (Lo he trazado en esa región y me "parece" continuo, sin embargo, me gustaría una prueba rigurosa).

Parece un problema sencillo, pero no tengo ni idea de por dónde empezar. Alguien sugirió el Teorema de convergencia dominada por Lebesgue pero, por desgracia, la teoría de las medidas no me convence, ya que nunca he asistido a un curso sobre el tema. He leído el página de wikipedia pero no tengo ni idea de cómo utilizarlo. ¿Hay alguna forma más sencilla? Si no es así, ¿alguien puede ayudar?

Answer 1

En Teorema de convergencia dominada me ha sido explicado, y creo que puedo utilizarlo de la siguiente manera para demostrar la continuidad de $I_n(a)$ .

Sea $g(x)=x^6e^{-x^2}$ . Claramente $g(x)$ es integrable, ya que $\int_{-\infty}^{\infty}|g(x)|dx$ es el sexto momento de la distribución gaussiana multiplicado por una constante. Dado que $0<\operatorname{sech}(x)\leq1$ el integrando está dominado por $g(x)$ es decir $|x^6e^{-x^2}\operatorname{sech}^n(ax)|\leq g(x)$ .

Para demostrar la continuidad, podemos demostrar que $\lim_{a\rightarrow a_0} I_n(a)=I_n(a_0)$ para la región $a_0\in[-\epsilon,\epsilon]$ que nos interesa. Podemos demostrarlo de la siguiente manera:

$$\begin{array}{rcl}\lim_{a\rightarrow a_0}I_n(a)&=&\lim_{a\rightarrow a_0}\int_{-\infty}^{\infty}x^6e^{-x^2}\operatorname{sech}^n(ax)dx\\ &=&\int_{-\infty}^{\infty}x^6e^{-x^2}\lim_{a\rightarrow a_0}\operatorname{sech}^n(ax)dx\\ &=&\int_{-\infty}^{\infty}x^6e^{-x^2}\operatorname{sech}^n(a_0x)dx\\ &=&I_n(a_0) \end{array}$$

donde el movimiento de límite dentro de la integral en la segunda igualdad está permitido ya que hemos demostrado que las condiciones para la Teorema de convergencia dominada aguanta. Así, demostramos que $I_n(a)$ es continua en todo el dominio de los números reales para $n\geq 1$ .