Encuentra una matriz de cambio de coordenadas $P$ y úsala para mostrar que $A$ es similar a $\begin{bmatrix} a & -b \\ b & a \end{bmatrix}$.

Question

Deje que $A = \begin{bmatrix} 1 & 5 \\ -1 & 3 \end{bmatrix}$ actúe sobre $\mathbb{C}^2$. Un autovector de $A$ es $\begin{bmatrix} 1-2i \\ 1 \end{bmatrix}$, correspondiente al autovalor $2+2i$. Encuentra una matriz de cambio de coordenadas $P$ y úsala para demostrar que $A$ es similar a una matriz de la forma $\begin{bmatrix} a & -b \\ b & a \end{bmatrix}$.

Sé que los autovectores para $\begin{bmatrix} a & -b \\ b & a \end{bmatrix}$ son $\begin{bmatrix}1\\-i\end{bmatrix}$ y $\begin{bmatrix}1\\i\end{bmatrix}$. Creo que necesito hacer una matriz aumentada y reducir las filas, aunque todavía no estoy seguro de cómo abordarlo.

Answer 1

Generalizando, tenemos

$A u = \mu u; \tag 1$

como $A$ es real, los autovalores son reales o se presentan en pares conjugados complejos; así que podemos escribir

$\mu = \mu_R + i\mu_I, \tag 2$

dado que $A$ es una matriz real, si $\mu \in \Bbb C \setminus \Bbb R$, el vector $u \in \Bbb C^2$ puede escribirse en términos de partes reales e imaginarias

$u = u_R + iu_I, \; u_R, u_I \in \Bbb R^2; \tag 3$

con $u_I \ne 0$; entonces tenemos

$Au_R + iAu_I = A(u_R + iu_I)$ $= (\mu_R + i\mu_I)(u_R + iu_I) = \mu_R u_R - \mu_I u_I + i(\mu_I u_R + \mu_R u_I), \tag 4$

lo que nos lleva a

$Au_R = \mu_R u_R - \mu_I u_I, \tag 5$

$Au_I = \mu_I u_R + \mu_R u_I; \tag 6$

sea

$U = [u_R \; u_I]; \tag 7$

es decir, las columnas de $U$ son las respectivas partes reales e imaginarias $u_R$ y $u_I$ de $u$; entonces tenemos

$AU = [Au_R \; Au_I] = [\mu_R u_R - \mu_I u_I \; \mu_I u_R + \mu_R u_I] = \mu_R[u_R \; u_I] + \mu_I[-u_I \; u_R]; \tag 8$

además, en el caso de que

$\mu_I \ne 0, \tag 9$

los vectores $u_R$ y $u_I$ son linealmente independientes, ya que si $a, b \in \Bbb R$ son tales que

$au_R + bu_I = 0, \tag{10}$

entonces

$aAu_R + bAu_I = 0; \tag{11}$

lo cual, mediante (5) y (6), se convierte en

$a(\mu_R u_R - \mu_I u_I) + b(\mu_I u_R + \mu_R u_I) = 0, \tag{12}$

o

$(a\mu_R + b\mu_I)u_R + (b\mu_R - a \mu_I)u_I = 0; \tag{13}$

si multiplicamos (10) por $\mu_R$ y restamos el resultado de esta ecuación, obtenemos

$b\mu_I u_R - a\mu_I u_I = 0; \tag{14}$

en el caso de que (9) se cumpla, esto se convierte en

$bu_R - au_I = 0; \tag{15}$

multiplicando (10) por $b$ y (15) por $a$ y restando las dos ecuaciones resultantes, obtenemos

$(a^2 + b^2)u_I = 0; \tag{16}$

como $u_I \ne 0$, encontramos

$a^2 + b^2 = 0 \Longrightarrow a = b = 0, \tag{17}$

lo que muestra que $u_R$ y $u_I$ son linealmente independientes; por lo tanto, la matriz $U$ en (7) no es singular y tenemos

$I = U^{-1}U = U^{-1}[u_R \; u_I] = [U^{-1}u_R \; U^{-1}u_I] = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}; \tag{18}$

$U^{-1}AU = [Au_R \; Au_I] = \mu_R[U^{-1}u_R \; U^{-1}u_I] + \mu_I[-U^{-1}u_I \; U^{-1}u_R]$ $= \mu_R\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} + \mu_I \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \mu_R & \mu_I \\ -\mu_I & \mu_R \end{bmatrix}, \tag{19}$

lo que muestra que $A$ es similar a una matriz de la forma

$\begin{bmatrix} a & -b \\ b & a \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \mu_R & \mu_I \\ -\mu_I & \mu_R \end{bmatrix}, \tag{20}$

mediante la matriz de "cambio de coordenadas" $P = U$.

En la situación específica que nos concierne, se nos da que

$\mu = 2 + 2i; u = \begin{pmatrix} 1 - 2i \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} + i \begin{pmatrix} -2 \\ 0 \end{pmatrix}; \tag{21}$

así que,

$u_R = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}, \tag{22}$

$u_I = \begin{pmatrix} -2 \\ 0 \end{pmatrix}, \tag{23}$

$P = U = \begin{bmatrix} 1 & -2 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}, \tag{24}$

$\mu_R = \mu_I = 2, \tag{25}$

y la matriz

$\begin{bmatrix} \mu_R & \mu_I \\ -\mu_I & \mu_R \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a & -b \\ b & a \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & 2 \\ -2 & 2 \end{bmatrix}. \tag{26}$

$OE\Delta$.